大家知道，从n个不同元素中取r个元素的组合的个数计算公式是：
根据组合数的定义可知，这是整数.
这表明其分子连续r个整数之积n（n-1)（n-2)…（n-r＋1)可被分母r!整除.
而且，把条件放宽为n∊Z，r∊N时，结论仍然成立.
我们以定理的形式给出来.
定理2 r!|n（n-1)（n-2)…（n-r＋1).
证明 （1)当n∊N且0≤r≤n时，由组合数的意义可知结论成立；当n∊N且n＜r时，在n，n-1，n-2，…，n-r＋1这连续r个整数中，开头的n非负，末尾的n-r＋1非正，故其中必有一个为0，故其积为0，当然有r!|0.
（2)当n＜0时，设-n=m，则
∵m＞0，∴m≥1，m＋r-1≥r，Crm＋r-1是一个组合数，是整数，故（-1)rCrm＋r-1是整数，故结论成立.
例如，6=3!|75×74×73；6=3!|19×20×21；
24=4!|8×7×6×5；4!|（-3)×（-4)×（-5)×（-6).
可见，定理中的整数n可以任意取值，r是连乘整数的个数.
例5 求证：（1)6|（n3-n)；（2)若n为奇数，则8|（n2-1).
证明 （1)∵n3-n=n（n2-1)=（n-1)n（n＋1)，∴6|（n3-n).(www.xing528.com)
（2)设n=2m＋1（m∊Z)，则n2-1=（2m＋1)2-1=4m（m＋1).
∵2|m（m＋1)，∴8|4m（m＋1)，8|（n2-1).
例6 求证：30|（n5-n).
证明 n5-n
=n（n4-1)
=n（n2-1)（n2＋1)
=n（n-1)（n＋1)[（n2-4)＋5]
=（n-2)（n-1)n（n＋1)（n＋2)＋5（n-1)n（n＋1).
∵5!=120|（n-2)（n-1)n（n＋1)（n＋2)，
3!=6|（n-1)n（n＋1)，30|5（n-1)n（n＋1)，
∴30|（n5-n).
由30|（n5-n)可知，10|（n5-n).这说明10除n5与10除n所得余数相同，即n5与n个位数字相同，由此可得，7565和756的末位数字都是6.进而从n5与n指数差4，可推广为10|（n4q＋r-nr)（q，r∊N).依此可求19102的末位数字.
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