初等数论：最小公倍数性质的讨论和应用

下面我们讨论最小公倍数的性质，注意试用文字语言表述这些性质，有助于理解和应用.

定理3 设m是a1，a2，…，an的一个公倍数，q是a1，a2，…，an的任意一个公倍数，则m=[a1，a2，…，an]⇔m∣q.

证明 必要性.

若m|/q，∵m=[a1，a2，…，an]，∴m＜q.

设q=mx＋r（0≤r＜m).

∵ak∣m，ak∣q，∴ak∣（q-mx)=r（k=1，2，…，n)，

∴r也是a1，a2，…，an的一个公倍数.而r＜m，这与m=[a1，a2，…，an]矛盾.

故m∣q.

充分性.

设[a1，a2，…，an]=p≠m.

∵m|q，p是a1，a2，…，an的公倍数，∴m∣p，m＜p，这与[a1，a2，…，an]=p矛盾.

故p=m.

定理4 设ap∣m（p=1，2，…，n)，则

充分性.

设[a1，a2，…，an]=k＜m，则由定理3可知，k∣m.

设m=kq（q＞1)，则

故m=[a1，a2，…，an].

定理5 [ka1，ka2，…，kan]=k[a1，a2，…，an]（请读者自己证明).

定理6 [a，b]（a，b)=ab.

分析 可以证明a1，a2，…，an与mk，ak＋1，…，an有相同的公倍数.

证明 （1)先证a1，a2，…，an的任一公倍数是mk，ak＋1，…，an的公倍数.

设m是a1，a2，…，an的任一公倍数，则m是a1，a2，…，ak公倍数，而[a1，a2，…，ak]=mk，由定理3知，m是mk的倍数.

又知m是ak＋1，…，an的公倍数，所以，m是mk，ak＋1，…，an的公倍数.

（2)再证mk，ak＋1，…，an的任一公倍数是a1，a2，…，an的公倍数.

设q是mk，ak＋1，…，an的任一公倍数，则q是mk的倍数，而[a1，a2，…，ak]=mk，故q是a1，a2，…，ak的公倍数.(www.xing528.com)

又q是ak＋1，…，an的公倍数，故q是a1，a2，…，an的公倍数.

由（1)，（2)知a1，a2，…，an与mk，ak＋1，…，an有相同的公倍数，进而可知两者有相同的最小公倍数.

推论 若[a1，a2，…，ak]=mk，[ak＋1，…，an]=qk，则

例如，[4，8，12]=[[4，8]，12]=[8，12]=24；

[2，4，9，8，27]=[[2，4，8]，[9，27]]=[8，27]=216.

定理8 若（h，am)=1（m=k＋1，k＋2，…，n)，则

证明 ∵（h，am)=1（m=k＋1，k＋2，…，n)，

∴（h，ak＋1…an)=1，

∴ak＋1…an是ak＋1，…，an的公倍数，

∴[ak＋1，…，an]∣ak＋1…an，

∴（h，[ak＋1，…，an])=1.

又由定理5和定理6的推论3可知，

例如， [2，4，12，9，17，18]

=2×[1，2，6，9，17，9]

=2×2×[1，1，3，9，17，9]

=4×3×[1，1，1，3，17，3]

=12×3×[1，1，1，1，17，1]

=36×17

=612.

定理9 [a，b，c]（ab，ac，bc)=abc.特别地，若a，b，c两两互质，则[a，b，c]=abc.

证明

特别地，若a，b，c两两互质，由（a，b)=1可得[a，b]=ab.

由（a，c)=1，（b，c)=1可得（ab，c)=1，[ab，c]=abc.

故[a，b，c]=[[a，b]，c]=[ab，c]=abc.