定义2 能被2整除的整数叫作偶数；不能被2整除的整数叫作奇数.
由定义容易得到如下关于偶数和奇数的性质.
性质5 偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±奇数=偶数.
我们只证明：一个偶数与一个奇数之和为奇数，其余留给读者完成.
证明 设任一偶数a=2n（n∊Z)；任一奇数b=2m＋1（m∊Z).则
可见，a＋b是奇数.
推论 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和为偶数；正奇数个奇数之和为奇数.
例5 有7个茶杯，杯口全朝上，每次同时翻转4个称为一次运动，可否经若干次运动使杯口全朝下？
解 一个茶杯由口朝上翻转为口朝下，须经奇数次翻转.
设经k次运动可使杯口全朝下，此时每个茶杯翻转的次数分别记作
因为杯口全朝下，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7均为奇数.
故7个茶杯翻转的总次数a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7=s必为奇数.
另一方面，每次同时翻转4个为一次运动，若经k次运动使7个茶杯的杯口全朝下，此时翻转的总次数为4k，这是一个偶数.这与s为奇数矛盾.故不可能经过若干次运动使杯口全朝下.
该题中7，4之一或两数同时作奇偶性调整、推广，结论如何？
性质6 奇数×奇数=奇数；偶数×整数=偶数.
推论 若干个奇数之积为奇数.
例6 设a1，a2，…，an是1，2，…，n的任一新排列，n为正奇数，求证：
为偶数.
这说明奇数个整数（a1-1)，（a2-2)，…，（an-n)之和为偶数，
∴a1-1，a2-2，…，an-n中至少有一个为偶数，
故（a1-1)（a2-2)…（an-n)为偶数.(www.xing528.com)
性质7 设a为整数，n为正整数，则an与a奇偶性相同.
例7 对正整数a，若存在正整数b，使得b2=a成立，则称a为完全平方数.类似地可定义完全立方数等（完全平方数的判定见本章第8节定理2).
求证：任意两个奇数的平方和不是完全平方数.
证明 设两个奇数分别为a=2n＋1（n∊Z)，b=2m＋1（m∊Z)，k=a2＋b2，则a2，b2均为奇数，故k=a2＋b2为偶数.
若k为完全平方数，则只能是一个正偶数的平方（否则k不是偶数).
设k=（2q)2（q为正整数)，则k=4q2，故4∣k.
另一方面，k=a2＋b2=4（n2＋m2＋n＋m)＋2，可见4|/k，自相矛盾.
故任意两个奇数的平方和不是完全平方数.
习题1.3
1.若b∣a，a∣b，则a=±b.
4.求证：数列11，111，1111，…的各项中没有完全平方数.
5.求证：数列9801，998001，99980001，…的各项都是完全平方数.
6.若a|b，求证：a2|b2.
7.设f（x)=ax2＋bx＋c，a，b为整数，c为奇数.若存在奇数m，使f（m)为奇数，则方程f（x)=0无奇数根.
8.若m＋n＋17是偶数，判定（m-1)（n-1)＋2018是奇数还是偶数.
9.三个相邻偶数之积是四位数，且其末位数是8，求这三个偶数.
10.可否在等式1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的□内，填入加号或减号使其成立？
11.两人轮流向圆桌上一枚枚放硬币，硬币不能叠压，也不能超出桌边，直到放不下为止，最后放者为赢.先放者有法取胜吗？
12.六个学友围桌而坐聊天，其中甲拿来六个杯子斟好茶准备分发，这时乙说：“你由近到远传递，无论谁面前不止一杯时，方可一次同时发给左右邻各一杯.”问经过几人次的传递，每人可得到一杯？若五人五杯呢？
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