在带余除法算式a=bq＋r（0≤r＜|b|)中，r=0的情况非常重要，它可以使我们脱离除法运算，直接解决许多有关整数的问题.
定义1 设a，b∊Z，b≠0，若存在整数q，满足a=bq，则称b整除a，或a被b整除.这时也称b为a的因数，a为b的倍数.记作b∣a.
若不存在整数q，使q满足a=bq，则称b不能整除a，或a不能被b整除.这时也称b不是a的因数，a不是b的倍数.记作b|/a.
例如，3∣18；5∣125；5∣（-25)；13∣1001；
2018∣0；1∣a；a∣a（a≠0)；5|/12.
下面我们讨论整除的性质.
性质1 （传递性)若c∣b，b∣a，则c∣a.
证明 ∵c∣b，∴存在整数q，满足b=cq.
∵b∣a，∴存在整数p，满足a=bp.
∴a=bp=（cq)p=c（qp).
∵q，p∊Z，∴qp∊Z，∴c|a.
性质2 （可加性)若c∣a，c∣b，则c∣（a±b)（请读者自己写出证明过程).
例2 求证：37∣（333777＋777333).
证明 ∵111∣333777，111∣777333，(www.xing528.com)
∴111∣（333777＋777333).
∵37×3=111，
∴37|（333777＋777333).
性质3 （可乘性)若b∣a，d∣c，则bd∣ac.
请读者自己写出证明过程，并说明当d=1或d=b或a=c时可以分别得到什么结论.
性质4 b|a⇔|b|||a|（请读者自己写出证明过程).
例3 求证：
（1)若一个数末位数字能被2整除，则这个数能被2整除.
（2)若一个数末两位数字组成的数能被4整除，则这个数能被4整除.
证明 （1)设a=10b＋c（b是整数，c是数字).
本例实际给出了能被2，4整除的数的特征，请写出并证明能被5，25；3，9；7，11，13整除的数的特征.关于数的整除特征将在下一章从另一个角度详细讨论.
同理a-b=-2 （C)，或a-b=9 （D).
由（A)，（B)之一与（C)，（D)之一两两搭配成的四个方程组中，只有（A)，（C)搭配成的一个方程组的解a=2，b=4符合题意，所以
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