如前所述，整数集对除法运算不封闭.这也就是说，两个整数相除，不一定能恰好求得整数商.例如，200÷3商66余2.
定义9 已知整数a和非零整数b，求两个整数q，r，使之满足a=bq＋r（0≤r＜|b|)，这样的运算叫作带余除法，其中a，b，q和r分别叫作被除数、除数、商和余数，算式a=bq＋r（0≤r＜|b|)叫作a除以b的带余除法算式.
定理1 设a，b∊Z，b≠0，则存在唯一的整数q，r，使之满足
证明 存在性.
（1)若b＞0，则|b|=b，作整数序列
因为a是一个整数，所以a是这个序列中的某一项或“卡”在某相邻两项之间，即存在整数q，满足bq≤a＜b（q＋1).
取r=a-bq，则a=bq＋r（0≤r＜|b|).
（2)若b＜0，则|b|＞0，对于|b|，由（1)知，存在整数s，t满足
可见，取q=-s，r=t，即可满足a=bq＋r（0≤r＜|b|).
由（1)，（2)可知，对任意整数a和任意非零整数b，总存在一对整数q，r，满足
唯一性（反证).
假设另存在一对整数u，v满足a=bu＋v（0≤v＜|b|)，则
而∵q，u∊Z，q≠u，∴|q-u|≥1，自相矛盾.故q=u，r=v.
即q，r唯一存在.
例3 从左至右逐个数下面的一列图案：
第79个是什么图案？
解 观察这列图案会发现，从左至右每隔7个就循环重复出现.因为79=7×11＋2，所以第79个与第2个相同，为※.(www.xing528.com)
习题1.2
1.已知a，b∊Z，用乘法定义证明ab=ba.
2.计算213×23可否从高位乘起？如可，写出相应的竖式，并说明为什么通常不这样计算.
3.在数字间添加运算符号或括号，使等式4 4 4 4=4成立.
4.已知a，b∊Z且a◎b=3a-2b.
（1)求（5◎4)◎3；
（2)若x◎（4◎1)=7，求x；
（3)分析Z对运算“◎”的封闭性.
5.设x，y∊Z且x#y=m×x＋n×y，xΔy=k×x×y（m，n，k∊N*)，＋和×是通常的加法和乘法.
若1#2=9，（2#3)Δ4=64，求（1Δ2)#3.
6.对任意整数m，n，试说明7m＋8n一定是整数.
7.一个数除以7余2，若被除数扩大9倍，余数是多少？（福州市1988年小学生“迎春杯”数学竞赛题)
8.若a除以b商c余r，则am除以bm商________余________.
9.某数除以3余2，除以4余1，该数除以12余几？（首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题)
10.找规律判定“300”位于哪个字母的下边？（1989年美国小学数学奥赛题)
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