因为自然数四则运算的性质、连续运算的定义与法则、混合运算的顺序等，对整数四则运算都仍然成立，所以，在此只简要介绍整数四则运算的定义.
定义5 设a，b∊Z，按如下规定得到整数c，c叫作a与b的和，a与b都叫作加数，求和的运算叫作加法，记作a＋b=c，读作a加b等于c.
（1)若a与b同号，则c与a，b同号，且|c|=|a|＋|b|.
（2)若a与b异号，当|a|=|b|时，取c=0；当|a|≠|b|时，c与a，b中绝对值较大者同号，且|c|取|a|，|b|中较大者与较小者的差.
（3)若a，b有且只有一个为0，则c取不等于0者.
（4)若a=b=0，则c=0.
整数集对加法运算封闭.
定义6 设a，b∊Z，若求得整数c，使a=b＋c，则这种运算叫作减法，其中a，b，c分别叫作被减数、减数、差，记作a-b=c，读作a减b等于c.
整数集对减法运算封闭.
定义7 设a，b∊Z，按如下规定得到整数c，c叫作a与b的积，a与b都叫作因数，求积的运算叫作乘法，记作a×b=c.当b是字母而不是具体数时，也可简记为a·b=c或ab=c，读作a乘b等于c.
（1)若a与b同号，则c=|a|·|b|；
（2)若a与b异号，则c=-|a|·|b|；
（3)若a与b中有0，则c=0.(www.xing528.com)
整数集对乘法运算封闭.
定义8 设a，b∊Z，b≠0，若按如下规定能求得整数c，则c叫作a与b的商，a，b分别叫作被除数、除数，求商的运算叫作完全除法，通常简称除法，记作a÷b=c，读作a除以b等于c，或b除a等于c.
（1)若a与b同号，则c=|a|÷|b|；
（2)若a与b异号，则c=-|a|÷|b|；
（3)若a=0，则c=0.
整数集对除法运算不封闭.
例1 设a，b∊Z，规定下列两种新运算：
求：3□2，（-2)□4，3Δ2，（-2)Δ4，并分析Z对□和Δ两种运算是否封闭.
解 3□2=3×2-（3＋2)=6-5=1；
因为对任意a，b∊Z，ab，a＋b都是整数，ab-（a＋b)仍是整数，所以Z对运算“□”封闭，因为3Δ2=2.5∉Z，所以Z对运算“Δ”不封闭.
例2 求证：a与b取任何整数，都不会有4a-1=4b＋1成立.
因此，对任意整数a，b，均有4a-1≠4b＋1.
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