（1)加法.
自然数按从小到大的顺序排成一行，得到一个数列：
叫作自然数列.显然，这是一个无穷数列.
定义1 在自然数列中，若在a之后依次数出b个数得到c，则c叫作a与b的和，a与b都叫作加数，求和的运算叫作加法，记作a＋b=c，读作a加b等于c.
由于自然数列有序、无限，所以加法总可实施且结果唯一，这也就是说，自然数集中任意两个数之和，仍在自然数集中且结果唯一，这时我们称自然数集对加法运算封闭.
一般地，若集合A中任意两个元素经过给定的某种运算，所得结果仍在集合A中，则称集合A对给定的这种运算封闭，否则，称集合A对这种运算不封闭.
由定义1可以定义多个数的加法，如：
由定义可知，加法具有如下运算性质：
①交换律：a＋b=b＋a.
②结合律：（a＋b)＋c=a＋（b＋c).
把各加数写成十进位制不同计数单位的数之和的形式，根据加法的定义和性质，可以得到加法运算法则，并可简化为大家熟知的竖式.
（2)减法.
定义2 已知两个自然数a，b，若能求得自然数c，使a=b＋c，则这种运算叫作减法，其中a，b，c分别叫作被减数、减数、差，记作a-b=c，读作a减b等于c.
显然，当且仅当a≥b时，差才存在；可见，自然数集对减法运算不封闭.
由定义2可以定义多个数连续的减法，如：
由定义可以证明，减法具有如下运算性质：
①a-（b＋c)=a-b-c.
②a-（b-c)=a-b＋c，或a-（b-c)=a＋c-b.
下面证明①，②留给读者自己证明.
把被减数和减数写成十进位制不同计数单位的数之和的形式，根据加法与减法的定义及性质，可以得到减法计算法则，并可简化为大家熟知的竖式.
在加法与减法混合运算中，规定按从左到右的顺序计算；在既含有加法和减法，又含有括号的运算中，规定先算括号内后算括号外.
（3)乘法.
定义3 b个相同自然数a之和c，叫作a与b的积，a与b都叫作c的因数，求积的运算叫作乘法，记作a×b=c.当b是字母而不是具体数时，也可简记为a·b=c或ab=c，读作a乘b等于c.
乘法是相同加数连加运算的简便运算方法，所以，自然数集对乘法运算也封闭.
由定义3可以定义多个数连乘，如：abc=（ab)c.
由定义可以证明，乘法具有如下运算性质：
①交换律：ab=ba.
②结合律：（ab)c=a（bc)=（ac)b.
③分配律：c（a＋b)=ca＋cb.(https://www.xing528.com)
下面证明②，其余留给读者自己证明.
当a，b，c至少一个为0或1时，显然成立.
当a，b，c均大于1时，
同理可证：（ab)c=a（bc).
∴（ab)c=a（bc)=（ac)b.
把因数写成十进位制不同计数单位的数之和的形式，根据加法与乘法的定义及性质，可以得到乘法计算法则，并可简化为大家熟知的竖式.
在加法、减法与乘法混合运算中，规定先算乘法后算加法或减法；在既含有上述三种运算，又含有括号的混合运算中，规定先算括号内后算括号外.
（4)除法.
定义4 已知自然数a与正整数b，若能求得自然数c，使a=bc，这种运算叫作完全除法，简称除法，其中a，b，c分别叫作被除数、除数、商，记作a÷b=c，读作a除以b等于c，或b除a等于c.
注意：除数b不能为0.
因为，若b=0，当a=0时，对任何数c都有a=bc成立，即商不唯一，不符合运算结果的唯一性要求；当a≠0时，任何数c乘b都等于0，不会等于a，即商不存在.所以，除数b不能为0.
除法具有两重含义：
①把a平均分成b份，每一份是c；
②a中包含c个b.
由②可知，除法是相同减数连减运算的简便运算方法.
因为自然数集对减法运算不封闭，所以，自然数集对除法运算也不封闭.
由定义4可以定义连续除法，如：a÷b÷c=（a÷b)÷c.
可以证明，除法具有如下运算性质（下列各式中的商存在时)：
①a÷（bc)=（a÷b)÷c.
②（a÷b)÷c=（a÷c)÷b.
③（ab)÷c=（a÷c)b，或（ab)÷c=a（b÷c).
④a÷（b÷c)=（ac)÷b，或a÷（b÷c)=（a÷b)c.
⑤（a＋b)÷c=a÷c＋b÷c.
下面证明①，其余留给读者自己证明.
把被除数和除数写成十进位制不同计数单位的数之和的形式，根据加法、乘法与除法的定义及性质，可以得到除法计算法则，并可简化为大家熟知的竖式.
加法、减法、乘法与除法统称为算术四则运算，简称四则运算.
在乘法与除法混合运算中，规定按从左到右的顺序计算；在四则混合运算中，规定先算乘法或除法，后算加法或减法；在含有括号的四则混合运算中，规定先算括号内后算括号外.
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