汽车NVH性能开发：有限元法基本理论与模型验证

有限元法（Finite Element Method，FEM）的基本原理是将一个连续的求解区域离散化为一组数量有限的单元（其中每个单元由有限个节点组成），即连续求解域可以视作只在节点处相连接的一组单元的集合体。这些单元能按不同的连接方式进行组合，且单元本身也可以用不同的形状描述，因此可以用于模拟几何形状十分复杂的连续体。

有限元法是一种基于最小势能原理的数值方法，它以单元节点位移为基本未知量，在单元内假设一个近似函数（即位移模式）来分片地描述求解域内的函数场，将求解域内连续的、未知的函数场（无限个自由度）转化为有限个单元/节点的新未知量（即自由度）的函数场。如果单元尺度趋向于无穷小，则有限个自由度的离散未知函数场向无限个自由度的连续未知函数场转化，近似解也就收敛于精确解。换言之，有限元网格尺寸越小，模型越精细，可以保证模型更加准确，同时计算结果更加可靠，但是网格尺寸过小则会使计算成本增加，因此需找一个平衡点以权衡二者。实体网格类型有一阶四面体、二阶四面体、一阶六面体、二阶六面体，二阶单元的计算成本大，因此在建立有限元模型时，需综合考虑网格类型及尺寸。

有限元模型建立后，需验证模型的准确性。模态作为结构的固有属性，通过仿真与试验模态频率及振型的对比，可以用来检验结构有限元模型的精度，并初步保证后续振声预测的有效性。

FEM实施的步骤如下：

（1）结构离散化

结构离散化，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成单元的集合体。这是应用有限元法解决工程问题的首要一步，也是关键性的一步。由于有限元是采用离散化数值分析，因此在网格划分时要注意应用梯度问题。对应力梯度大的区域，网格加密，反之则可以稀疏一些，而且疏密网格之间要合理过渡。

（2）选择位移模式

线性的有限元法是建立在最小势能原理基础上的一种近似数值方法，以位移作为基本的未知量。为此应确立以单元节点位移表示的单元内任一点位移的近似表达模式。为了能用节点位移表示单元体内的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是节点坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式的形函数。

上述单元节点位移与单元内任一点位移之间的关系可以表示为：

u^e=Nu （5.1）

式中，u^e是单元位移列阵；u是单元节点位移列阵；N是形函数矩阵。

（3）确定单元的力学特性

单元力学特性包括下面三部分内容：

1）利用几何方程，由位移表达式（5.1）推导得出以节点位移表示单元应变的关系式：

ε=Bu^e （5.2）(www.xing528.com)

式中，ε是单元内任一点的应变列阵；B是单元应变矩阵。

2）利用本构方程，可以由应变的表达式（5.2）推导得出用节点位移表示单元应力的关系式：

σ=DBu^e=Su^e （5.3）

式中，σ是单元内任一点的应力列阵；D是弹性矩阵；S是单元应力矩阵。

3）利用变分原理，建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的平衡方程：

K^eu^e=F^e （5.4）

式中，K^e是单元刚度矩阵；F^e是单元等效节点力。

从上述三式推导得出单元刚度矩阵是单元特性分析的核心。

（4）建立结构平衡方程

有限元法中结构平衡方程是由单元平衡方程组集而成的。这个组集过程包括两个方面，一是单元刚度矩阵的组集为结构整体刚体矩阵；二是将作用于各个单元的等效节点力列阵组集成结构总的载荷列阵，从而得到总体刚度矩阵、节点载荷列阵和节点位移列阵表示的结构平衡方程：

Ku=F （5.5）

式中，K是总体刚度矩阵；F是节点载荷列阵。

（5）求解节点位移和单元应力

由集合起来的平衡方程组（5.5），经约束处理后，求得节点的位移列阵。进而可以利用式（5.3）和已求出的节点位移求得各单元的应力。根据工程需要，对上述计算结果加以整理、后处理得到不同形式的分析结果。