大学应用数学参数区间估计

参数的点估计是θ的一个近似值.由于参数未知，无法考证估计值与参数θ的真值的近似程度.而在实际问题中，我们不仅需要求出参数的估计值，还要知道估计值的精确性与可靠性，即希望找出θ的一个可能的变化范围（，），并知道这个范围包含参数真值的可信程度.所以称这种形式的参数估计为区间估计.

设θ是总体X的一个未知参数，（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的样本，对于给定的正数α（0＜α＜1），若存在统计量=（X1，X2，…，Xn）和=（X1，X2，…，Xn），使得

则称1-α为置信度，称区间（，）为参数θ的置信度为1-α的置信区间，与分别称为置信下限与置信上限，α称为显著性水平.

式（9.15）的直观意义是：区间（，）包含未知参数θ的真值的概率为1-α.置信区间的长度，反映了精确度要求，区间越短越精确；置信度反映了区间估计的可靠性要求，α越小越可靠.

由于服从或近似服从正态分布的总体广泛存在，因此我们着重讨论正态总体期望与方差的区间估计.

1.正态总体均值μ的区间估计

设总体X～N（μ，σ2），（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的样本.下面分两种情况求总体均值μ的置信度为1-α的置信区间.

（1）σ2已知，求μ的置信度为1-α的置信区间.因为X～N（μ，σ2），所以N（0，1）.对于给定的α（0＜α＜1），令

由此得，于是μ的置信区间为

其中ua/2是标准正态分布的α双侧临界值，由标准正态分布函数的定义有，据此，ua/2的值可查标准正态分布临界值表（附录5）而得.

例9.16　某车间生产的零件长度服从正态分布N（μ，0.22），从当日产品中随机抽取5个，测得长度（单位：mm）分别为22.0，21.4，21.8，22.3，21.5.试求零件长度数学期望的置信度为99%的置信区间.

解　由题意知，（22.0+21.4+21.8+22.3+21.5）=21.8，σ=0.2，n=5，置信度1-α=0.99，故α=0.01，查标准正态分布双侧临界值表（附录5），得ua/2=2.58，于是零件长度数学期望的置信度为99%的置信区间为：

（2）σ2未知，求μ的置信度为1-α的置信区间.当总体的方差σ2未知时，自然想到用样本方差S2代替总体方差σ2.而.对于给定的α（0＜α＜1），查t分布双侧临界值表，可求出满足的临界值λ0=tα（n-1）.

例9.17　测得自动车床加工的10个零件尺寸与规定尺寸的偏差为：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4，并且被测总体近似地服从正态分布.求零件尺寸偏差的数学期望的置信区间（α=0.05）.

解　由所给数据得，

由于α=0.05，n=10，查自由度为9的t分布双侧临界值表，得t0.05（9）=2.262，于是(www.xing528.com)

即零件尺寸偏差的数学期望的置信区间（α=0.05）为（0.28，3.72）.

2.正态总体方差的区间估计

因为在一般情况下总体的均值μ是未知的，所以这里只讨论当均值μ未知时，对方差σ2的区间估计，即根据样本找出σ2的置信区间.

设总体X～N（μ，σ2），（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的样本，所以.对于给定的α（0＜α＜1），查χ2分布的临界值表，选取λ1，λ2，使，且满，可得，因此，方差σ2的置信度为1-α的置信区间为

而标准差σ的置信度为1-α的置信区间为

例9.18　随机地取某种炮弹9发作试验，测得炮口速度的样本标准差S=11（m/s），设炮口速度X～N（μ，σ2），求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为95%的置信区间.

解　由置信度1-α=0.95知，，n-1=8，查χ2分布的临界值表得，，S=11（m/s），由式（9.19）得这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为95%的置信区间为

练习9.2

1.设总体X具有概率密度，（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的样本，未知参数θ＞0，求θ的矩估计量.

2.设总体X服从参数为N和p的二项分布，（X1，X2，…，Xn）为取自总体X的样本，试求参数N和p的矩估计量.

3.设总体X～N（μ，σ2），（X1，X2，X3）是来自总体X的样本，试证：估计量

都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.

4.从大批彩色显像管中随机抽取100只，其平均寿命为10 000小时，可以认为显像管的寿命X服从正态分布.已知均方差σ=40小时，在置信度95%下求出这批显像管平均寿命的置信区间.

5.设随机地调查26年投资的年利润率（%），得样本标准差S=15（%），且投资的年利润率X服从正态分布，求它的方差的区间估计（置信度为95%）.

6.生产一个零件所需时间（单位：秒）X～N（μ，σ2），观察25个零件的生产时间得=5.5，S=1.73，试求μ和σ2的置信区间（置信度为95%）.