概率分布临界值的概念在统计推断中有重要的作用,在参数估计和假设检验中常常用到.下面先给出临界值的定义,然后讨论几种常用分布的临界值.
临界值 对于总体X和给定的正数α(0<α<1),称满足条件
的实数λα为X分布的临界值(或上α分位点).
1.标准正态分布的临界值
标准正态分布的临界值记为μα(图9.3),即
图9.3
由于Φ(x)=P(X≤x),于是
P(x>μα)=1-P(x≤μα)=1-Φ(μα)=α
即
Φ(μα)=1-α
对给定的α,查标准正态分布临界值表(附录5)可求出μα.
例如,当α=0.025时,μ0.025=1.96;当α=0.05时,μ0.05=1.65;当α=0.95时,利用正态分布的对称性,有μα=-μ1-α,于是μ0.95=-μ0.05=-1.65.
例9.7 设总体X~N(2,52),(X1,X2,…,X10)是来自总体X的一个样本,求满足P(>μα)=0.05的μα.
解 因为X~N(2,52),μ=2,σ=5,n=10,所以.又因为P
,所以
,于是
,查标准正态分布表知
1.65,所以μα=4.607.
2.χ2分布的临界值
自由度为n的χ2分布的临界值记为,由给定的n,α,查χ2分布临界值表(附录6),即可求得
(图9.4),例如
图9.4
例9.8 已知X~χ2(25),求满足P(X>λ1)=0.01及P(X≤λ2)=0.75的λ1和λ2.
解 对于P(X>λ1)=0.01,这里n=25,α=0.01,查附录6,得λ1=(25)=44.314;
对于P(X≤λ2)=0.75,由P(X≤λ2)=1-P(X>λ2)=0.75,得P(X>λ2)=0.25;查附录6,得λ2=(25)=29.339.(www.xing528.com)
3.t分布的临界值
t分布的临界值记为tα.由给定的α和n,通过查t分布临界值表(附录7),可求出tα(n)(图9.5).与正态分布类似,tα=-t1-α.
图9.5
若P(t(n)>λ)=α,则P(t(n)<-λ)=α,P(|(n)|<λ)=1-2α.
例9.9 设T~t(10),求(1)α=0.05时的双侧临界值;(2)设P(t>λ)=0.01,求λ;(3)设P(<λ)=0.95,求λ.
解 (1)这里α=0.05,n=10,查附录7,得对应的双侧临界值λ=t0.05(10)=2.228.
(2)由P(t>λ)=0.01知,查附录7,所求的单侧临界值λ=t0.01(10)=2.764.
(3)因为P(<λ)=0.95,所以P(t>λ)=0.025,查附录7,得对应的单侧临界值λ=t0.025(10)=2.228.
练习9.1
1.设X~N(μ,σ2),μ未知,且σ2已知,X1,…,Xn为取自此总体的一个样本,指出下列各式中哪些是统计量,哪些不是,为什么?
(1)X1+X2+Xn-μ;
(2)Xn-Xn-1;
2.对某型号的木材作抗压力实验,用10个试件试验的数据为:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469(MPa).求这个样本的均值和方差.
3.由附录查表求下列各值:
(1)u0.05;
(3)t0.01(10),t0.9(8);
4.设总体X~N(80,202),从总体中抽取一个容量为100的样本,问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少?
5.设总体X~N(0,1),从此总体中取一个容量为6的样本(X1,…,X6),设Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,试决定常数c,使得随机变量cY服从χ2分布.
6.设总体X,Y互相独立,X~N(150,400),Y~N(125,625),现从总体中各抽取容量为5的样本,,
分别为样本均值,求P(X-Y≤0).
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。