马尔可夫链在大学应用数学中的应用

马尔可夫链是一种特殊的概率模式，它在经济学和社会学中有广泛的应用.在市场竞争中，可用马尔可夫链来确定企业产品短期和长期的市场占有率；而且可以通过市场占有率的估计，来评价几种广告策划之间的优劣；又如会计部门，可用马尔可夫链确定可疑账目的允许差额；营销部门，可用马尔可夫链预测顾客是坚持用某种品牌的商品，还是转向其他品牌的商品的行为，马尔可夫链成为市场研究的重要工具.

例8.40　某地区2005年第一季度甲、乙、丙三种品牌洗发水的市场占有率分别是40%，25%和35%.三月底进行抽样调查，原来使用甲牌洗发水的100人中，有90人仍坚持用，分别有4人和6人转向使用乙、丙品牌的洗发水；原来使用乙牌洗发水的100人中，有80人仍坚持用，分别有15人和5人转向使用甲、丙品牌的洗发水；原来使用丙牌洗发水的100人中，有70人仍坚持用，分别有20人和10人转向使用甲、乙品牌的洗发水.试问2005年第二、第三季度，甲、乙、丙三种品牌洗发水的市场占有率分别是多少（确定各季度洗发水的市场占有率与前一季度的市场占有率有关）?

分析：马尔可夫链是建立在“系统的状态”和“状态转移”等基本概念的基础上.系统的状态可用状态概率向量表示.所谓概率向量是指各个元素非负，且其和等于1的任意行向量，即A=（p1　p2　…　pn），其中pi≥0，i=1，2…，n，且第一季度甲、乙、丙三种品牌洗发水的市场占有率分别是40%，25%和35%，可用概率向量

A0=（0.4　0.25　0.35）

表示.如果系统从一种状态转变为另一种状态完全是随机的，则可用转移概率矩阵来表示.

一个方阵P，当它的每行都是由概率向量组成时，就称P是转移概率矩阵，记为

由概率向量可知，转移概率矩阵的每一行各元素之和为1，而各列元素之和不一定为1.根据定义，顾客向甲、乙、丙三种品牌的洗发水转移，可用下列转移概率矩阵来表示：

为了预测第二、三季度市场占有率，根据马尔可夫过程理论：若随机现象的概率转移过程，仅与前一周期状态有关，而与过去状态无关，则称它为一阶马尔可夫过程；如果与前两周期状态有关，则称为二阶马尔可夫过程；依此类推，如果与前n-1个周期状态有关，则称为n阶马尔可夫过程.由于这种随机过程，一环扣一环，因此又称为马尔可夫链.若用Ak表示第k周期的概率向量，则可以证明A1=A0P，A2=A1P=A0P2，…，Ak=A0Pk.

解　由题意，第二季度市场占有率A1=A0P，即

,即第二季度甲、乙、丙三种品牌洗发水的市场占有率分别是46.75%、25.10%和28.15%.

同理，第三季度市场占有率A2=A1P，即

即第三季度甲、乙、丙三种品牌洗发水的市场占有率分别是51.47%，24.765%和23.765%.

练习8.4

1.有一项引进工程项目，某保险公可需要决定是否开办新保险.如果开办而不出险（不发生事故），则每年可获得承保收入5万元；但如果开办后就发生责任事故，则将给保险企业造成100万元的赔偿损失；如果不开办，则不论出不出险，保险企业都得付出调研经费0.5万元.根据过去不完全资料统计，预测承保后不出险的概率是0.96，而出险的概率是0.04.在这种情况下，保险企业对该工程项目究竟是承保还是不承保?

2.假定某项目投资方案中，预计其产品销售价格不稳定，且在一定时期内变动幅度可根据统计资料和预测手段加以估计，其主观概率如表8.5所示.试问选择销售价格下降这一随机观察，应确定下降多少比较恰当?

表8.5

3.某市国营企业，2003年盈亏情况如下：有1/2企业盈利，1/4严重亏损、1/4潜亏；2004年，原盈利企业保留7/8，有1/8的企业变为亏损；原亏损企业，仅有1/2仍然亏损，扭亏为盈，1/6转为潜亏；原潜亏企业，有1/3仍然潜亏，1/2转为盈利，1/6转为严重亏损.假定这几年没有破产、合并、新增企业.问2005年、2006年盈利、严重亏损和潜亏企业各占多少比例?

第8章自测题

1.判断题

（1）（　　）若f（x）是随机变量的密度函数，则

（2）（　　）一个口袋中有四个球，其上分别标有-3，-2，2，3数字，从中任取一球，则取得球上标明的数字x的分布函数为

（3）（　　）若ξ～N（0，1），则

（4）（　　）若ξ1，ξ2是任意两个随机变量，则有E（ξ1ξ2）=E（ξ1）E（ξ2），D（ξ1+ξ2）=D（ξ1）+D（ξ2）.

（5）（　　）若ξ～N（0，1），则E（ξ）=0；若ξ～B（1 000，0.01），则D（ξ）=9.9.

2.选择题

（1）已知随机变量ξ的分布列为

则P（ξ≤0）为________.

（2）已知随机变量ξ～N（0，1），则P（ξ＜0）的值为________.

（A）0.1　　　（B）0.2　　　（C）0.4　　　（D）0.5

（3）随机变量ξ的密度函数为，则常数c的值为________.

（4）设A、B、C为三个事件，则“A、B、C中至少有一个不发生”这一事件可表示为________.

（A）AB+AC+BC　　　　（B）A+B+C

（5）如果P（AB）=0，则________.

（A）A与B相容

（B）与不相容

（C）P（A+B）=P（A）+P（B）(www.xing528.com)

（D）P（A-B）=P（A）-P（B）

3.填空题

（1）F（x）是随机变量ξ的分布函数，则F（+∞）=________，F（-∞）=________.

（2）已知ξ服从泊松分布，E（ξ）=________，D（ξ）=________.

（3）随机变量ξ的密度函数为，则ξ落在区间内的概率为_________________________.

（4）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为______________________________.

（5）某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车到达，一位乘客到达汽车站的时间是随意的，则他等候时间不超过3分钟的概率为______________________________.

4.解答题

（1）设，在下列三种情况下求P（BA）的值：

①AB=∅；

②A⊂B；

③P（AB）=.

（2）设连续型随机变量ξ的分布函数为

其中λ＞0为常数.求：

①常数A及B的值，并作出F（x）的图像；

②随机变量ξ落在区间（1，2）内的概率；

③ξ的密度函数.

（3）已知某学生走读所需时间服从正态分布，他的数学期望μ=45分钟，标准差σ=5分钟；如果上课时间为上午8时30分，求7时50分从家走出而迟到的概率.

（4）设离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，求随机变量Z=3X-2的期望与方差.

思政　阅读材料之八

三次数学危机

一、第一次数学危机

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家.他曾创立了一个和政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派.由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数.而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰.然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形，其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念，这都是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了.更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法.这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.如今，我们也学习到了，数系不止有理数和无理数.

第一次数学危机也让我们认识到，要勇于探索、敢于求真.科学都是一边推翻先前不成熟或者错误的结论，一边发现新结论新定理，然后一直前进服务于生活的.

二、第二次数学危机

微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期，对18世纪的数学产生了重要而深远的影响，但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础，这在初创时期是不可避免的.科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌.他们需要做的事情太多了，他们急于去攫取新的成果.基本问题只好先放一放，正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！”数学史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础.于是在微积分的发展过程中，出现了两个局面：一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用，从而迅速地发展；另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的，出现了越来越多的悖论和谬论.

数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机.例如：有时把无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计.这些矛盾引起了数学界的极大争论.比如当时爱尔兰主教、唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“无穷小量”是“已死的幽灵”.贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判.

第一个为拯救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是法国数学家达朗贝尔.他在1754年指出，必须用更可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论.但是他本人未能提供这样的理论.最早使微积分严格化的是拉格朗日.为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上.但是这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题.

19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基而努力，其中包括捷克的哲学家波尔查诺，他著有的《无穷的悖论》，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解.分析学的奠基人，法国数学家柯西在1821—1823年出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作.在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义.

对分析基础做更深一步的理解的要求发生在1874年.那时的德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的.它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多.黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数.黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在.也就是将柯西积分改进为黎曼积分.

这些事实使我们明白，在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再深挖一步：理解实数系更深刻的性质.这项工作最终由维尔斯特拉斯完成，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观.这样一来，数学分析所有的基本概念都可以通过实数和他们的基本运算表述出来.微积分严格化的工作终于接近封顶，只有关于无限的概念没有完全弄清楚，在这个领域，德国数学家康托尔做出了杰出的贡献.

总之，第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固.柯西的贡献在于，将微积分建立在极限理论的基础上.维尔斯特拉斯的贡献在于有逻辑地构造了实数论.为此，建立分析基础的逻辑顺序是实数系——极限论——微积分.

三、第三次数学危机

19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得了广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了…….”

可是，好景不长.1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论.

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成.然后罗素问：S是否属于S呢?根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合.因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的.但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地.如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S.无论如何都是矛盾的.就相当于有一个人说：“我撒谎了.”可是，他究竟撒谎了没有呢?

其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论.如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论.1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论.但是，这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，只是在数学界掀起了一点小涟漪，未能引起大的注意.罗素悖论则不同.它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西.所以，罗素悖论一经提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动.如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于在他的工作即将结束时，其基础崩溃了.罗素先生的一封信正好把我置于这个境地.”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一书的再版.可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机.

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则.“一方面，这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统.这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷.除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等.

一方面，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机.但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响.它使数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究.这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学.如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等.