在m×n阶矩阵中，任取k行k列，位于这些行、列交叉点处的元素所构成的行列式，称为该矩阵的k阶子式.
例如，矩阵
中第一、二、三行与第二、三、四列相交处的元素构成的三阶子式是
；第三、四行与第二、三列相交处的元素构成的二阶子式是
一个n阶方阵A的n阶子式，就是A的行列式
阶矩阵的k阶子式共有
个.
秩 m×n阶矩阵A中不为零的子式的最高阶数k，称为矩阵A的秩，记作r（A），即r（A）=k.
显然，r（A）≤min（m，n），r（AT）=r（A）.
规定零矩阵的秩为0.
根据矩阵秩的定义及前面的知识，可以得到下面的定理：
定理6.2 矩阵A的秩r（A）=k的充分必要条件是矩阵A中有一个k阶子式不为零，而其所有k+1阶子式全为零.
定理6.3 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数.初等变换不改变矩阵的秩.
根据矩阵秩的定义及定理6.2知，要求一个非零矩阵A的秩，应从二阶子式开始逐一计算.若所有二阶子式为零，则r（A）=1；若其中有一个二阶子式不为零，则计算三阶子式，若所有三阶子式为零，则r（A）=2；若其中有一个三阶子式不为零，则需继续计算四阶子式；依此类推，直到求出矩阵A的秩为止，这种方法计算矩阵的秩，有时需要计算很多行列式，很麻烦.但由前面的知识及定理6.3知，初等变换可以把任一矩阵化为与它等价的阶梯形矩阵，而阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数.因此常用初等变换求矩阵的秩.
例6.16 利用初等变换求矩阵
的秩.
解 先将A化为阶梯形矩阵(www.xing528.com)
显然，非零行的个数为2，所以r（A）=2.
练习6.3
1.判断下列命题的正确性.
（1）（ ）若矩阵A的秩为k，则A的所有k阶子式不为零.
（2）（ ）若矩阵A的秩为k，则A的所有k+1阶子式全为零.
（3）（ ）初等变换不改变矩阵的秩.
（4）（ ）行简化阶梯形矩阵的秩就是它的非零行的行数.
2.利用初等变换将下列矩阵化为阶梯形矩阵.
3.利用初等变换将下列矩阵化为行简化阶梯形矩阵.
4.利用初等变换求下列矩阵的秩.
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