矩阵概念来源之一是解线性方程组，线性方程组的主要解法是消元法.在用消元法求解线性方程组的过程中，运用了以下三种变换方法：
（1）交换两个方程的位置.
（2）用一个非零数乘某个方程.
（3）用一个常数乘某个方程后加到另一个方程上去.
这三种变换称为线性方程组的初等变换.由于线性方程组施行了上述三种变换后得到的新方程组与原方程组是同解的，因此初等变换不改变线性方程组的解.因为对线性方程组做初等变换时，只是对线性方程组的系数和常数项进行运算，未知量并未参与，所以对方程组进行初等变换，实质上就是对方程组的系数与常数项构成的矩阵进行相应的变换，于是产生了矩阵的初等变换.
矩阵的行（列）初等变换 对矩阵的行（列）作以下三种变换，称为矩阵的行（列）初等变换：
（1）交换矩阵的任意两行（列）.
（2）用一个非零数乘矩阵的某一行（列）.
（3）用一个常数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）上去.
矩阵的等价 矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作A～B.(www.xing528.com)
阶梯形矩阵 具有下列两个特点的矩阵称为阶梯形矩阵.
（1）元素全为零的行在矩阵的最下方（如果有零行的话）.
（2）非零行的第一个非零元素之前的零元素个数随行数增加而增多.
行简化阶梯形矩阵 在一个阶梯形矩阵中，如果它的非零行的第一个非零元素都是1，且其所在列的其他元素都是零，像这样的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵.如上述阶梯形矩阵中的矩阵B.
定理6.1 任意一个矩阵Am×n都可以通过一系列的行初等变换化为与其等价的阶梯形矩阵.
推论6.2 任意一个阶梯形矩阵都可以用一系列的行初等变换化为行简化阶梯形矩阵.
由定理和推论知，任意一个矩阵Am×n都可以通过一系列的行初等变换化为与其等价的行简化阶梯形矩阵.
例6.15 利用初等变换将矩阵
化为行简化阶梯形矩阵.
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