矩阵虽然是由一些数构成的数表，但可以对它施行一些具有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为解决实际问题的有力工具.
1.矩阵的相等与转置
如果A=（aij）与B=（bij）都是m×n矩阵，并且它们对应的元素相等，即aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.
把矩阵A的行与列互换后得到的新矩阵，称为原矩阵A的转置矩阵，记作AT或A′.
2.矩阵的加（减）法
例6.2 设两种货物从甲、乙、丙三个产地运往A、B、C、D四个销地，调运方案可分别由矩阵A和B给定，如下
那么从各产地运往各销地两种货物的总量可表示为矩阵
自然定义矩阵C=A+B.
一般有：
矩阵的加（减）法 两个m行n列矩阵A=（aij）和B=（bij）中对应元素相加（减）得到的m行n列矩阵，称为矩阵A与B的和（差），记作A±B，即
A±B=（aij）m×n±（bij）m×n=（aij±bij）m×n
我们把行数相同、列数也相同的矩阵称为同型矩阵.
必须注意的是：只有同型矩阵才能求和.
可以验证，矩阵的加法运算满足下面的运算律：
设A，B，C，O是同型矩阵，-B是B的负矩阵，则有：
（1）A+B=B+A； （2）（A+B）+C=A+（B+C）；
（3）A+O=A； （4）A-A=O；
（5）A-B=A+（-B）.
3.矩阵的数乘
例6.3 在例6.1中，货物从三个产地运往四个销地的调运计划表可以用矩阵
来表示，如果每吨每千米的运费为3元，那么各产地到各销地的运费用矩阵表示为：
这就是数3与矩阵A相乘的结果.
一般有：
矩阵的数乘 数k与矩阵A=（aij）m×n的每一个元素相乘得到的矩阵，称为k与A的数乘矩阵，记作kA，即kA=（kaij）m×n.
容易验证，矩阵的数乘运算满足下列运算律：
设A、B都是m×n阶矩阵，k、k2、k都是常数，则有(www.xing528.com)
（1）k（A+B）=kA+kB，（k1+k2）A=k1A+k2A.
（2）k1（k2A）=（k1k2）A.
（1）2A-3B.
（2）若2A+3C=3B，求CT.
4.矩阵的乘法
例6.5 设有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个工厂，生产甲、乙两种产品，矩阵A表示一年中各工厂生产两种产品的数量，矩阵B表示两种产品的单位价格与单位利润.求各工厂一年的总收入与总利润的矩阵表示.
解 由于Ⅰ工厂年总收入为50×100+60×450=32 000，
总利润为50×200+60×800=58 000.
Ⅱ工厂年总收入为70×100+80×450=43 000，
总利润为70×200+80×800=78 000.
Ⅲ工厂年总收入为80×100+90×450=48 500，
总利润为80×200+90×800=88 000.
所以三个工厂年总收入与总利润用矩阵表示为
即矩阵C的第i行第j列的元素是矩阵A的第i行元素与矩阵B第j列的对应元素乘积之和，且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数.称矩阵C为矩阵A与矩阵B的积.
一般我们有：
矩阵的乘法 设矩阵A=（aij）m×k，矩阵B=（bij）k×n，则由元素Cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）构成的m行n列矩阵C=（Cij）m×n称为矩阵A与矩阵B的乘积，记作A·B（或AB），即有C=AB（读作A左乘B）.
必须注意的是：只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，才能进行A左乘B的乘法运算，且积矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数.
可以验证，任意n阶方阵与n阶单位矩阵的积仍为n阶方阵本身.
由此可知，矩阵的乘法不满足交换律，但可以证明矩阵的乘法满足结合律与分配律，即
（1）（AB）C=A（BC），k（AB）=（kA）B=A（kB）.
（2）A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA.
其中k为常数，A、B、C为矩阵，且上述各等式满足矩阵乘法运算的条件.
显然AC=BC，且C≠O，但是A≠B.由此可知，矩阵的乘法不满足消去律.
由此可知，两个非零矩阵相乘结果可能是零矩阵.
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