大学应用数学：函数展开为幂级数

由上述定理，可以将具有任意阶导数的函数展开成x的幂级数，具体展开法较常用的有以下两种：

1.直接展开法

（1）求f（x）的各阶导数.

（2）求f（n）（0）（n=1，2，…）.

（3）写出幂级数，并求出R.

（4）考察余项Rn（x）是否趋于零.如果趋于零，则f（x）在（-R，R）内的幂级数展开式为

这里的余项（ξ在0与x之间）.

例5.16　将函数f（x）=ex展开成x的幂级数.

解　f（x）=f′（x）=f″（x）=…=f（n）（x）=…=ex，有

f（0）=f′（0）=f″（0）=…=f（n）（0）=…=1，于是得到ex的麦克劳林级数

此级数的收敛半径为R=+∞.

又因为

由于e|x|有界，而为收敛级数的一般项，所以有0.因而，于是麦克劳林级数收敛于ex，即(www.xing528.com)

同理，可以求得

2.间接展开法

利用幂级数可以逐项求导、逐项积分及已知函数的幂级数展开式将函数展开成幂级数.

例5.17　将函数f（x）=ln（1+x）展开成x的幂级数.

解　因为是收敛的等比级数的和函数

所以将上式从0到x逐项积分，得

例5.18　将函数f（x）=cos x展开成x的幂极数.

必须熟记如下五个函数的幂级数展开式：

ex，sin x，cos x，ln（1+x），（1+x）m

例5.19　将函数展开成x的幂级数.

解　将函数变形为；由于，所以