幂级数概念大学应用数学

1.幂级数的定义

定义5.3　把形如的级数称为（x-x0）的幂级数，其中a0，a1，a2，…，an，…称为幂级数的系数.当x0=0时，级数变为，把这种类型的级数称为x的幂级数.

例如，都是x的幂级数.

2.幂级数的收敛域

对于x的幂级数，要求其收敛点，我们先找出使该级数绝对收敛的点，即使收敛的点，然后由正项级数的比值审敛法求幂级数收敛的条件.由，得：当时，级数收敛，此时的收敛点在某个领域内，领域半径称为收敛半径；当时，级数发散；当时，级数的收敛性需另作判断.

定理5.6　对于x的幂级数，如果存在（或为无穷大），则该幂级数的收敛半径为

例5.10　求幂级数的收敛域.

当x=1时，级数成为，它是发散的；当x=-1时，级数成为，它是收敛的.

所以，级数的收敛域为[-1，1）.

例5.11　求幂级数的收敛域.

解　，所以，级数的收敛域为（-∞，+∞）.

例5.12　求幂级数的收敛半径.(www.xing528.com)

解　所以，幂级数仅在点x=0处收敛.

例5.13　求幂级数的收敛域.

分析　该级数中只出现x的偶次幂，不能直接用定理来求收敛半径R.可考虑比值审敛法.

解　设，于是

当，即|x|＜时，幂级数绝对收敛，收敛半径为；当，即|x|＞，幂级数发散；当x=时，级数成为，它是发散的.

所以，幂级数的收敛域是（-2，2）.

对于（x-x0）的幂级数的收敛域求法与上述方法类似，也可以用变量代换令x-x0=t，从而代换成t的幂级数求收敛区域.

例5.14　求幂级数的收敛域.

解　令t=x-1，上述级数变为，因为

当t=2时，级数成为，此级数发散；当t=-2时，级数成为，此级数收敛.因此，级数的收敛域为-2≤t＜2.此时-2≤x-1＜2，即-1≤x＜3.

所以，级数的收敛域为[-1，3）.