数项级数的概念与性质-大学应用数学

1.级数的定义

对于数列{un}，我们把和式u1+u2+u3…+un…称为常数项无穷级数，简称级数，记作，其中un称为级数的一般项.

例如，等都是常数项级数.

在上述和式中，如果仅取有限项，即项数n分别为1，2，3，…，n，则对应的和式分别为：u1=S1，u1+u2=S2，u1+u2+u3=S3，…，u1+u2+u3+…+un=Sn，这里，我们把级数中的部分项的和式u1+u2+u3+…+un=Sn叫级数的部分和，把级数中部分和余下的部分叫级数的余项，记作Rn，有把数列S1，S2，S3，…，Sn，…称为部分和数列{Sn}.

2.级数收敛与发散的定义

定义5.1　如果级数的部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数收敛，这时极限S称为级数的和，记作；如果{Sn}无极限，则称级数发散.

例5.1　证明等比级数（或几何级数）

当|q|＜1时收敛，当|q|≥1时发散.

证　如果q≠1，其前n项的和

当|q|＜1时，由于，于是，即等比级数收敛，且其和为

当|q|＞1时，由于，于是当n→∞时，Sn是无穷大量，因此级数发散.

当q=1时，级数变为a+a+a+…，于是，因此级数发散.

当q=-1时，级数变为a-a+a-a+…；当n为奇数时，Sn=a，而当n为偶数时，Sn=0；即当n→∞时.Sn无极限，所以级数发散.

综上所述，几何级数当|q|＜1时收敛，当|q|≥1时发散.

例5.2　证明级数

当n→∞时，Sn→1.

根据级数收敛的定义可知，级数的收敛性、部分和的极限与余项之间有如下关系：级数

例5.3　证明调和级数发散.(www.xing528.com)

分析　由级数收敛的定义可如，当级数的部分和余项的极限不为零时，该级数就发散，我们只需证明其部分和的余项的极限非零即可.

证　当i=1，2，3，…，n时，，于是有

显然，余项Rn不是无穷小量.因此，级数发散.

3.数项级数收敛的必要条件

定理5.1　若级数收敛，则

推论5.1　对于级数，当n→∞时，若un不趋于零，则此级数必发散.

例如，因为，所以级数发散.

必须注意的是：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.

有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的.如例5.3已证明调和级数发散.

4.数项级数的基本性质

由级数收敛性定义.可得如下性质：

性质5.1　若级数收敛，其和为S，又k为常数。则也收敛，且

性质5.2　若两级数收敛，且，则两级数的代数和也收敛，且

性质5.3　在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.

性质5.4　收敛级数中的各项任意合并（即加上括号）后形成的新级数仍然收敛，而且其和不变.

但是，如果加括号后所形成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.例如，是收敛的，但级数1-1+1-1+1-1+…发散.

推论5.2　一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散.