求二元函数最值-大学应用数学

与一元函数的最值求法类似，可以用函数的极值来求函数的最值，对于闭区域D上连续的二元函数z=f（x，y），一定有最大值和最小值.使二元函数z=f（x，y）取得最大值或最小值的点既可能在区域D的内部，也可能是在区域D的边界上.若使二元函数z=f（x，y）取得最大值或最小值的点在区域D的内部取得，则该点一定是该二元函数z=f（x，y）的极值点；若使二元函数取得最大值或最小值的点是在区域D的边界上，则该点一定是该二元函数z=f（x，y）在边界上的最大值或最小值.因此，在求二元函数z=f（x，y）的最值时，只需将区域D内部可能的极值点所对应的函数值与区域D边界上的函数的最大值与最小值进行比较即可，其中最大者就是闭区域D上连续的二元函数z=f（x，y）的最大值，最小者就是闭区域D上连续的二元函数z=f（x，y）的最小值.

对于实际问题中的最值问题，若根据问题的属性能够判断函数的最大值或最小值在区域的内部取得，而函数在该区域的内部只有一个驻点，则该驻点处的函数值就是函数在该区域内的最大值或最小值.因此，求实际问题中的最大值成最小值的步骤如下：

（1）根据实际的问题建立函数关系，并且确定函数的定义域.

（2）求出唯一的驻点.

（3）结合实际问题的属性求出其最大值或最小值.

例4.29　某厂须用铁板做成一个体职为2 m3的有盖长方体水箱，问：当长、宽、高分别取多少时，才能使所用的材料最省?

解　设水箱的长、宽、高分别为x、y、z，表面积为S，则S=2（xy+yz+xz）.由于xyz=2，即，因此

显然其表面积S是一个二元函数，其定义域为D={（x，y）|x＞0，y.＞0}.

解方程组，得驻点为（）.

根据题意可知，水箱所用材料的最小值一定存在，并且在区域D的内部取得.又因为该二元函数在区域D的内部只有唯一的驻点，因此可以判断当，时，其表面积S为最小值，此时的高.即当长、宽、高均为时，所用的材料最省.

练习4.4

1.填空题

（1）二元函数取得极值的点可能为________.

（2）二元函数的驻点为________.

（3）函数的极值点为________.

（4）函数的驻点为________.

2.选择题(www.xing528.com)

（1）函数f（x，y）=4（x-y）-x2-y2的极值点为________.

（A）（0，0）　　　（B）（0，2）　　　（C）（2，-2）　　　（D）（2，2）

（2）二元可导函数取得极值的点一定是________.

（A）驻点　　　（B）不可导的点

（C）区域边界点　　　（D）驻点和不可导的点

（3）闭区域上连续函数的最值________.

（A）一定存在　　　（B）不一定存在

（C）一定在驻点处取得　　　（D）一定在边界线上取得

（4）开区域内的连续函数________.

（A）一定有最值　　　（B）不一定有最值

（C）一定有极值　　　（D）前三个选项都不对

3.问平面x+y+z=1上哪一点到坐标原点的距离最短?最短距离是多少?

4.求函数z=x2-xy+y2-2x+y+5的极值.

5.某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x（件）和y（件），总成本为C（x，y）=8x2-xy+12y2（元），商品的日生产限额为x+y=42，问两种商品的日产量分别是多少时总成本最小?最小成本是多少?

6.某厂生产甲、乙两种产品，出售单价分别为10万和9万元，已知生产甲产品x件和乙产品y件的总成本是C（x，y）=400+2x+3y+0.01（3x2+xy+3y2）（万元），求两种产品各生产多少件时，利润最大?并求最大利润.