大学应用数学：二元函数的极值

在实际问题中，往往会遇到多元函数的极值与最值问题.与一元函数类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值也有着密切的联系，下面以二元函数为例来讨论其极值问题.

1.二元函数极值的定义

和一元函数的极值定义类似，我们通过比较自变量在局部范围内函数值的大小来定义极值.

定义4.3　设二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某一个邻域内有定义，对于该邻域内异于P0（x0，y0）的一切点P（x，y）.若有不等式f（x，y）＜f（x0，y0）成立，则称二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极大值f（x0，y0）；若有不等式f（x，y）＞f（x0，y0）成立，则称二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极小值f（x0，y0）.

极大值与极小值统称为极值.使二元函数z=f（x，y）取得极值的点P0（x0，y0）称为极值点.

例如，二元函数在点M（0，0）处有极小值0，因为在点M（0，0）处，该二元函数的值为零，而在其他的点，该二元函数的值均大于零.

二元函数在点M（0，0）处有极大值1，因为在点M（0，0）附近的任意点P（x，y）处的函数值

2.极值存在的必要条件

一元函数的可能极值点是一阶导数不存在的点或驻点.二元函数的极值也有类似的结论.

定理4.4（必要条件）　若二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极值，并且两个偏导数都存在，则有

这里，满足的点P0（x0，y0）称为函数z=f（x，y）的驻点.与一元函数相类似，驻点不一定是极值点.

例如，点M（0，0）是二元函数z=xy的驻点，但是二元函数z=xy在该点并无极值.

3.极值存在的充分条件

定理4.5（充分条件）　设二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某一个邻域内连续且具有二阶连续的偏导数，且P0（x0，y0）是驻点.令（x0，y0）=A，（x0，y0）=B，（x0，y0）=C，则二元函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处是否取得极值的判断步骤如下：

（1）当AC-B2＞0时具有极值.并且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值.

（2）当AB-B2＜0时无极值.(www.xing528.com)

（3）当AC-B2=0时可能有极值、也可能无极值，需另外讨论.

利用极值存在的必要条件和充分条件，将具有二阶连续偏导数的二元函数z=f（x，y）的极值求法归纳如下：

（1）解方程组，求出所有的驻点Pi（xi，yi）.

（2）对每一个驻点Pi（xi，yi），求出其二阶偏导数A、B、C的值.

（3）讨论AC-B2的符号，然后根据定理4.5（充分条件）判定该二元函数z=f（x，y）在这些点处取得极值的情况.

例4.28　求二元函数f（x，y）=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值.

解　先解方程组，求得驻点分别为P1（1，0），P2（1，2），P3（-3，0），P4（-3，2）.

二阶偏导数分别为（x，y）=6x+6，（x，y）=0和=-6y+6.

在点P1（1，0）处，由于AC-B2=12×6＞0，并且A=12＞0，因此该二元函数在点P1（1，0）处有极小值f（1，0）=-5.

在点P2（1，2）处，由于AC-B2=12×（-6）＜0，因此该二元函数在点P2（1，2）处无极值.

在点P3（-3，0）处，由于AC-B2=-12×6＜0，因此该二元函数在点P3（-3，0）处无极值.

在点P4（-3，2）处，由于AC-B2=-12×（-6）＞0，并且A=-12＜0，因此该二元函数在点P4（-3，2）处有极大值f（-3，2）=31.

和一元函数可能的极值点情况类似，二元函数的一阶偏导数不存在的点也可能是极值点.

例如，二元函数在点（0，0）处的一阶偏导数不存在，但是该二元函数在点（0，0）处却有极小值0.