全微分及应用-大学应用数学

和一元函数的微分定义方法类似，对于二元函数，我们考察当自变量变化时相应函数的增量的近似值.

例4.17　如图4.11所示，设矩形的两个边长分别为x，y，则矩形的面积S=xy.若两个边长x，y分别取得改变量（或增量）Δx，Δy，则面积S的全改变量（或全增量）为

ΔS=（x+Δx）（y+Δy）-xy=yΔx+xΔy+ΔxΔy

图4.11

上式右端中的yΔx+xΔy是关于两个自变量x，y的改变量（或增量）Δx，Δy的线性函数，当→0时，ΔxΔy是比ρ高阶的无穷小量.故可以略去不计，而用yΔx+xΔy来近似代替全改变量（或全增量）ΔS.我们将yΔx+xΔy称为二元函数S=xy的全微分.

1.全微分的定义

定义4.2　如果二元函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的全增量Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）的形式，其中两个常数A，B不依赖于两个自变量的增量Δx，Δy而改变，仅与两个自变量x，y有关，，o（ρ）是比ρ高阶的无穷小量，则称二元函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分（或可微），并称AΔx+BΔy为二元函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的全微分，记作dz，即dz=AΔx+BΔy.

可以证明，若二元函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某个邻域内的两个偏导数f′x（x，y），f′y（x，y）连续，则该二元函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分（或可微）.并且全微分为

若二元函数z=f（x，y）在区域D内的各点处都可微分（或可微），则该二元函数z=f（x，y）在该区域D内可微分.

与一元函数相类似，由于两个自变量x，y的改变量（或增量）Δx，Δy就是两个自变量x，y的微分dx，dy，因此二元函数z=f（x，y）的全微分dz又可以记作

其中分别称为二元函数z=f（x，y）对两个自变量x，y的偏微分.根据可知，全微分等于各偏微分的和，这就是所谓的叠加原理.

例4.18　求二元函数z=x2y2在点（2，-1）处，当Δx=0.02、Δy=-0.01时的全增量与全微分.

解　全增量为Δz=（2+0.02）2×（-1-0.01）2-22×（-1）2=0.162 4.

由于该二元函数z=x2y2的两个偏导数分别为，并且都连续，因此全微分存在，于是所求点（2，-1）处的全微分为

例4.19　求二元函数z=exsin（x+y）的全微分.(www.xing528.com)

解　因为该二元两数z=exsin（x+y）的两个偏导数分别为=exsin（x+y）+excos（x+y），=excos（x+y），所以全微分为

2.全微分在近似计算中的应用

设二元函数z=f（x，y）在点P（x，y）处的两个偏导数都连续，则该二元函数z=f（x，y）的全增量Δz与全微分dz的差Δz-dz是一个比ρ高阶的无穷小量，当|Δx|，|Δy|都比较小时，就可以用二元函数z=f（x，y）的全微分dz来近似地代替该二元函数z=f（x，y）的全增量Δz，即Δz≈dz，故

即

我们可以利用上述两式对函数值或函数增量作近似计算.

例4.20　有一个圆柱体，受压后发生变形，其半径由20 cm增大到20.05 cm，并且高度由100 cm减少到99 cm.求该圆柱体的体积变化的近似值.

解　设圆柱体的半径、高、体积依次为r，h，V，则相应地体积函数为V=πr2h.记r，h，V的改变量（或增量）分别为Δr，Δh，ΔV.于是

ΔV≈dV=V′rΔr+V′hΔh=2πrhΔr+πr2Δh

将r=20，h=100，Δr=0.05，Δh=--1代入上式，可以得到

ΔV≈2π×20×100×0.05+π×202×（-1）=-628（cm3）

即该圆柱体的体积减少了约628 cm3.

例4.21　求（1.04）2.02的近似值.

解　设二元函数f（x，y）=xy.而所要计算的值就是该二元函数f（x，y）=xy在两个自变量分别为x=1.04，y=2.02时的函数值f（1.04，2.02）.取x=1，y=2，Δx=0.04，Δy=0.02.

由于（x，y）=yxy-1，（x，y）=xyln x，于是得（1，2）=2，（1，2）=0，f（1，2）=1.用上述的近似计算公式（4.6），可以得到

（1.04）2.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08