大学应用数学相应函数的变化率

对于二元函数z=f（x，y），我们考察当其中一个自变量变化而另一个自变量不变化时，相应的函数的变化率情况.

1.偏导数的定义

设二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某一个邻域内有定义，当自变量y固定在y0而自变量x在x0处有改变量（或增量）Δx时，其对应的二元函数z=f（x，y）也有改变量（或增量）f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0），若存在，则此极限称为二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处对自变量x的偏导数，记作

类似地，当自变量x固定在x0而自变量y在y0处有改变量（或增量）Δy时，若极限存在，则此极限称为二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处对自变量y的偏导数，记作

若二元函数z=f（x，y）区域D内的每一个点P（x，y）处对自变量x的偏导数都存在，则该偏导数仍是自变量x和自变量y的函数，称此偏导数为二元函数z=f（x，y）对自变量x的偏导函数，记作

类似地，可以定义二元函数z=f（x，y）对自变量y的偏导函数，记作

今后，在不至于混淆的地方，我们将偏导数和偏导函数统称为偏导数.根据偏导函数的定义可知，二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处对自变量的偏导数（x0，y0）或（x0，y0）就是偏导函数（x，y）或（x，y）在点P0（x0，y0）处的函数值.

2.偏导数的几何意义

一元函数y=f（x）的导数的几何意义是函数曲线y=f（x）在某点P0（x0，y0）处切线的斜率.二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的偏导数（x0，y0）是曲面z=f（x，y）与平面y=y0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））（空间曲线上的点）处的切线对x轴的斜率（倾斜程度）；同理，二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的偏导数（x0，y0）是曲面z=f（x，y）与平面x=x0的交线在点（x0，y0，f（x0，y0））（空间曲线上的点）处的切线对y轴的斜率（倾斜程度）.

3.偏导数的求法

根据偏导数的定义可知，求二元函数对某一个自变量的偏导数时，只需将另一个自变量视作常量而直接对该变量求导数即可.

例4.13　求二元函数f（x，y）=x2+3xy+y2在点M（1，2）处的偏导数（1，2）和（1，2）.

解　将自变量y视作常量，对自变量x求导，可以得到（x，y）=2x+3y.

将自变量x视作常量，对自变量y求导，可以得到（x，y）=3x+2y.

将点M（1，2）分别代入上面的偏导函数，可以得到

例4.14　设z=（x2+y2）ln（x2+y2），求(www.xing528.com)

同理=（x2+y2）′yln（x2+y2）+（x2+y2）[ln（x2+y2）]′y=2y[ln（x2+y2）+1].

当然，二元函数偏导数的定义和求法可以推广到二元以上的函数.

例4.15　求三元函数的三个偏导数

解　将两个自变量y，z视作常量.

同理，将两个自变量x，z视作常量.

同理，

4.二阶偏导数及求法

设二元函数z=f（x，y）在区域D内具有偏导数，则在该区域D内这两个偏导数仍然是两个自变量x，y的函数.若这两个函数f′x（x，y），f′y（x，y）的偏导数也存在，称它们为二元函数z=f（x，y）的二阶偏导数.二元函数依照对两个自变量x，y进行求导的次序的不同而有以下四个二阶偏导数：

其中，两个二阶偏导数称为二阶混合偏导数.

类似地，可以定义三阶、四阶甚至更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例4.16　设二元函数z=x3y-3x2y3，求它的所有二阶偏导数.

例4.16中的两个二阶混合偏导数是相等的，即这不是偶然现象，事实上，有如下的定理：

定理4.1　若二元函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，则在该区域D内这两个二阶混合偏导数相等.即

必须注意的是：（1）二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.（2）高阶混合偏导数在连续的条件下也与求导的次序无关.