大学应用数学：空间直角坐标系

1.空间点的坐标

经过空间内的一个定点O，作三条两两互相垂直的数轴Ox、Oy，Oz（即将两数轴Ox和Oy配置在水平面上，则数轴Oz就是该水平面上的铅垂线），并且指定其正向符合右手法则，这样的三条数轴Ox、Oy、Oz就建立起了一个空间直角坐标系，如图4.1所示.

其中：

（1）定点O称为坐标原点.

（2）三条数轴Ox、Oy、Oz称为坐标轴，分别称为横轴、纵轴、竖轴.

（3）如果空间内的一个点M到三个坐标轴上的投影数量分别为x、y、z，则有序数组（x，y，z）就表示点M的坐标，分别称数x为横坐标、数y为纵坐标、数z为竖坐标.

（4）任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面.由两条坐标轴Ox与Oy所确定的坐标平面称为xOy坐标平面，由两条坐标轴Oy与Oz所确定的坐标平面称为yOz坐标平面，由两条坐标轴Oz与Ox所确定的坐标平面称为xOz坐标平面.

（5）三个坐标平面将空间分为八个部分，每一个部分称为一个卦限，位于三条坐标Ox、Oy、Oz的正半轴的那个方位的卦限称为第一卦限，在xOy坐标平面的上方，并且按照逆时针的方向而依次确定的三个卦限分别称为第二、第三、第四卦限；其第五、第六、第七、第八这四个卦限都在xOy坐标平面的下方.其中，第一卦限的下方的那个卦限称为第五卦限，并且按照逆时针的方向而依次确定，这八个卦限分别用罗马字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ来表示（如图4.2所示）.

图4.1

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图4.2

（6）坐标原点O的坐标为（0，0，0）；坐标轴Ox上的点坐标为（x，0，0）；坐标轴Oy上的点坐标为（0，y，0）；坐标轴Oz上的点坐标为（0，0，z）.

（7）xOy坐标平面上的点坐标为（x，y，0）；yOz坐标平面上的点坐标为（0，y，z）；xOz坐标平面上的点坐标为（x，0，z）.

显然，各卦限内点的坐标符号如表4.1所示.

表4.1

2.两点间的距离公式

设点M1（x1，y1，z1）和M2（x2，y2，z2）为空间两点，过这两点各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体，由初等数学知识不难证明：