大学应用数学：定积分性质

根据定积分的定义及极限运算法则可得定积分具有如下性质.

性质3.3　两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即

此性质可推广到有限个函数代数和的情形.

性质3.4　被积函数中的常数因子可以提到积分号外，即

性质3.5　若在[a，b]上f（x）=k（k为常数），则

特别地，当k=1时，有

性质3.6　若把[a，b]分为[a，c]和[c，b]两部分，则有

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.

实际上，无论a，b，c三点的相对位置如何，性质4仍然成立.例如，当a＜b＜c时，由性质4知于是

性质3.7（比较性质）　若在[a，b]上有f（x）≥g（x），则

该性质说明，要比较相同区间上定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可.

推论3.1　若在[a，b]上f（x）≥0，则

推论3.2　若a＜b，则

性质3.8（估值性质）　设M和m分别是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，则

性质3.9（积分中值定理）　若f（x）在[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点ξ，使

积分中值定理的几何解释：在[a，b]上至少存在一点ξ，使得由曲线y=f（x）（f（x）≥0），直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积，恰好等于同一底边而高为f（ξ）的矩形的面积（图3.7）.f（ξ）称为连续函数f（x）在[a，b]上的平均值，即

图3.7(www.xing528.com)

例3.13　比较下列积分值的大小.

解　（1）由于在[1，2]上0≤ln x＜1，所以ln x≥（ln x）2，故有

（2）令f（x）=ex-（1+x），则f′（x）=ex-1，因为在[0，1]上f′（x）≥0，即f（x）单调增加，所以对任意x∈[0，1]，都有f（x）≥f（0）=0，即ex-x-1≥0⇒ex≥x+1，故有

例3.14　估计定积分dx值的范围.

解　因为，令f′（x）=0，得驻点x=0，又因f（0）=1，f（-1）=e-1，f（2）=e-4，故有m=e-4，M=1，由估值性质得

练习3.2

1.填空题.

（1）某物体以速度v=gt（m/s）作自由落体运动，该物体运动10 s后所经过的路程用定积分可以表示为________.

（2）的符号是________.

（3）若函数f（x）在[-1，1]上连续，且，则

2.选择题.

（1）定积分是________.

（A）一个常数　　　　　　　　（B）一个函数族

（C）f（x）的一个原函数　　　（D）一个非负常数

（2）设函数f（x）在[a，b]上连续，则的值为________.

（A）小于0　　　　（B）大于0

（C）等于0　　　　（D）不能确定

（3）下列不等式中，成立的是________.

（4）设函数y=f（x）在[a，b]上连续，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形的面积等于________.

3.利用定积分的几何意义说明下列定积分等式.