大学应用数学中的定积分定义

为了引入定积分的定义，先看下面的例子.

引例1（曲边梯形的面积问题）　设函数y=f（x）在[a，b]上非负、连续，由直线x=a，x=b，y=0与曲线y=f（x）所围成的图形（图3.5）称为曲边梯形，曲线弧称为它的曲边.

图3.5

由于f（x）在[a，b]上连续，因此当自变量的改变量Δx很小时，函数的改变量Δy也很小.所以，如果把[a，b]划分为许多小区间，经过每一个分点作平行于y轴的直线，把曲边梯形分成许多小曲边梯形，每个小曲边梯形可以近似地看做小矩形，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值.分割越细，近似程度就越好，当把[a，b]无限细分，即每个小区间的长度都趋于零时，所有小矩形面积之和的极限就转化为曲边梯形面积的精确值S.

根据以上分析，得到计算曲边梯形面积的步骤如下：

（1）分割：在[a，b]内任意插入n-1个分点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，把[a，b]分成n个小区间[xi-1，xi]（i=1，2，…，n），记各小区间的长度为Δxi，即

Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n）

过每一个分点xi（i=1，2，…，n）作垂直于x轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其相应的面积记为ΔSi（i=1，2，…，n），易知

（2）近似代替：在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，并用以[xi-1，xi]为底，f（ξi）为高的小矩形的面积来近似替代第i个小曲边梯形的面积，从而得到这个小曲边梯形面积ΔSi的近似值，即

ΔSi≈f（ξi）Δxi（i=1，2，…，n）

（3）求和：把这些近似值累加起来，就得到曲边梯形面积S的近似值，即

（4）取极限：若记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn），则当λ→0时，所有小区间的长度都趋于零.若存在，则它的极限值就是曲边梯形面积的精确值S，即

引例2（变速直线运动的位移问题）　设一物体作变速直线运动，已知速度v=v（t）是时间t的连续函数，且v（t）≥0，计算物体在时间间隔[T1，T2]上经过的位移s.

解决这个问题的思路和方法与求曲边梯形的面积类似.由于速度是连续变化的，所以在很短的时间间隔内，可以用匀速直线运动近似代替变速直线运动，求出该时间间隔内位移的近似值，再求和得到整个位移的近似值，则当Δt→0时，整个位移近似值的极限就是所求位移的精确值.具体计算步骤如下：

（1）分割：任取分点T1=t0＜t1＜t2＜…＜tn-1＜tn=T2，把[T1，T2]分成n个小区间[ti-1，ti]（i=1，2，…，n），记每个小区间的长度为Δti，即

Δti=ti-ti-1（i=1，2，…，n）

（2）近似代替：任取一时刻τi∈[ti-1，ti]，用v（τi）来近似代替[ti-1，ti]上各个时刻的速度，于是在[ti-1，ti]内所走过的位移Δsi的近似值为

Δsi≈v（τi）Δti（i=1，2，…，n）

（3）求和：把这些小区间上的位移累加起来，就得到总位移的近似值，即(www.xing528.com)

（4）取极限：记λ=max{Δt1，Δt2，…，Δtn}.若当λ→0时，存在，则该极限值就是物体在[T1，T2]上所经过的位移的精确值s，即

类似的例子在科学技术和现实生活中还有很多，如旋转体的体积、变力做功问题等.虽然这些问题的具体意义不同，但解决问题的思路、方法和具体步骤都相同，并且最后结果都归结为和式的极限问题，数学上把这类和式的极限（如果极限存在）叫作定积分，于是便得到定积分的定义.

定义3.3　设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入n-1个分点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，将[a，b]分成n个小区间[xi-1，xi]（i=1，2，…，n），各个小区间的长度记为Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n）.在每个小区间上任取一点ξi∈[xi-1，xi]，作和式.记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，若极限存在，且该极限值与[a，b]的分法及各小区间[xi-1，xi]上点ξi的取法无关，则称该极限值为函数f（x）在[a，b]上的定积分，记做，即

其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，a和b分别称为积分下限和上限，[a，b]称为积分区间.f（x）在[a，b]上的定积分存在也称为f（x）在[a，b]上可积.

有了定积分的定义，前面两个实际问题都可用定积分表示为：

由直线x=a，x=b，y=0与曲线y=f（x）（f（x）≥0）所围成的曲边梯形的面积

以变速v=v（t）（v（t）＞0）作直线运动的物体，从时刻T1到时刻T2所走过的位移

必须注意的是：

（1）定积分是和式的极限，因此定积分表示一个数，这个数只与被积函数f（x）及积分区间[a，b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

（2）在定积分的定义中假定a＜b，为了今后使用方便，对定积分作如下两个规定：

①当a＞b时，

② 当a=b时，

（3）定积分存在定理.

定理3.5　若函数f（x）在[a，b]上连续或函数f（x）在[a，b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则函数f（x）在[a，b]上可积.

由于初等函数在其定义域内均连续，所以初等函数在其定义域内均可积.如无特定说明，本章所讨论函数均为指定区间上的可积函数.