边际分析方法：经济变量的变化率和应用数学

边际是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法称为边际分析法.边际分析法不仅为我们作出科学决策提供了一种可靠的工具，而且还使数学知识成为经济学的分析工具.因此，边际分析法对推动经济学本身发展和解决实际经济问题起到了重大作用，成为经济理论中的一个重要分析方法.

1.边际分析

对于经济函数y=f（x），当经济自变量x在x0处有改变量Δx时，经济函数y=f（x）在y0=f（x0）有相应的改变量Δy，若y=f（x）在x0处可微分，则

Δy≈dy=f′（x0）Δx

又设Δx=1，则

Δy≈f′（x0）

它表示在x0基础上，若经济自变量x再增加一个单位，经济函数y=f（x）变化（当f′（x0）＞0时，同向变化；当f′（x0）＜0时，反向变化）|f′（x0）|个单位.

2.边际函数

若函数y=f（x）可导，则导数y′=f′（x）称为函数y=f（x）的边际函数.f′（x0）称为函数y=f（x）在点x0的边际函数值，它表示函数y=f（x）在点x0相对于自变量的变化速度.

若总成本函数C（Q）、收益函数R（Q）、利润函数L（Q）可导，则C′（Q）、R′（Q）、L′（Q）分别称为边际成本、边际收益、边际利润.

必须注意的是：（1）导数与边际的关系：边际概念是将导数的概念经济化，因此经济学中的边际和数学中的导数是一个概念.这不仅丰富了导数的含义，也给经济学中边际的计算提供了更直接、简便的方法.（2）边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个重要边际经济量，常用于分析生产状况、制订生产计划.

例2.45　设某产品的供给函数为Q=10e2P，求当P=1时的边际供给，并说明其经济意义.

解　边际供给函数为Q′=20e2P，于是当P=1时边际供给为(www.xing528.com)

Q′（1）=20e2P|P=1=20e2≈148

即当P=1时，涨价1个单位，供给量增加约148个单位.

例2.46　设某产品的总成本函数为（单位：元），当产量为100（单位：件）时，从降低成本角度看，继续提高产量是否恰当?

解　当产量为100件时，总成本为

平均成本为

边际成本函数为

当产量为100件时边际成本为

即当产量为100件时，再多生产1件产品，总成本增加2.5元，远小于平均成本12.25元，所以从降低成本角度看，继续提高产量是恰当的.

例2.47　设某产品的需求函数为Q=1 200-3P，其中P（单位：千万元/万吨）为产品的价格，Q（单位：万吨）为产品的需求量，若假设需求量等于销售量，求边际收益函数及当Q分别为480万吨、600万吨、720万吨时的边际收益，并分析边际收益函数的实际意义.

解　由Q=1 200-3P，可知价格函数为，则收益函数为

于是边际收益函数为，则

由上可知，当产品的销售量Q＜600万吨时，R′（Q）＞0，收益随着销售量的增加而增加，说明市场上该产品供不应求；当产品的销售量Q=600万吨时，R′（Q）=0，收益达到最大值，说明市场上该产品达到饱和；当产品的销售量Q＞600万吨时，R′（Q）＜0，收益随着销售量的增加而减少，说明市场上该产品供大于求.因此该产品的最佳销售量为600万吨.