建筑设计中如何考虑曲线的弯曲程度？

在建筑设计和工程技术中，往往需要考虑曲线的弯曲程度.如图2.9所示，当点A沿曲线y=f（x）运动到点B时，过点A的切线也随之转动，设转过的角度为Δα，对应的弧长为Δs，则为曲线段AB上的平均曲率，它是单位弧上切线转过的弧度数，显然，它体现了曲线在单位弧长上的弯曲程度.当Δs→0时，极限就是曲线y=f（x）在点A的曲率，记作K，即

1.弧微分

设y=f（x）在（a，b）上可导，对于任意x∈（a，b），考察（x，x+Δx）上对应的弧长，当|Δx|很小时，弧MN的长度Δs的近似值为弦的长度，如图2.10所示，即

当Δx→0时，弧MN的长度Δs无限接近于的长度，且Δy→dy，因此记弧微分为

即

图2.9

图2.10

2.曲率计算公式

由导数的几何意义可知，tan α=y′，两边求微分得sec2α·dα=y″dx，即

根据前面的推导，曲率，将dα和ds代入得曲率公式为

例2.43　求圆x2+y2=R2上任一点（x，y）处的曲率.

解　由隐函数求导法得　，代入曲率公式得

所以，圆上任一点的曲率等于圆半径的倒数.

练习2.5

1.填空题.

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（4）d（sin2x）=（　　　　）d（sin x）=（　　　　）dx.

2.选择题.

（1）关于一元函数的微分与导数的关系，下列描述正确的是________.

（A）可微的点一定可导，可导的点也一定可微

（B）可导是可微的充分条件

（C）可导是可微的必要条件

（D）没有必然关系

（2）关于微分，下列说法错误的是________.

（A）微分与函数的导数有关，与自变量增量无关

（B）导数也叫微商

（C）可导复合函数的微分具有一阶微分形式的不变性

（D）当|Δx|很小时，函数的微分与增量近似相等

（3）当|x|很小时，下列近似等式正确的是________.

（A）ln（1-x）≈x　　　（B）ex+1≈x　　　

（4）如果f（u）可导，则函数y=f（ex）的微分dy=________.

（A）[f（ex）]′dex　　　（B）f′（ex）dx　　　　（C）f′（ex）dex　　　（D）f′（x）dx

3.求函数y=x2+x在点x=1，Δx=0.01时的微分dy和增量Δy.

4.求下列函数的微分.

（1）y=ln（1+x2）；　　（2）y=e-xsin 2x.

5.计算近似值.

（1）tan 44.5°；　　（2）　　　（3）arcsin 0.500 2；　　（4）ln 0.998.

6.若半径为15 cm的球的半径伸长2 mm，则球的体积约扩大多少?