大学应用数学中未定型式的类型改进

洛必达法则：设函数f（x）和g（x）满足下列条件：

（1）当x→x0时，f（x）→0，g（x）→0[或].

（2）在点x0的某去心邻域内，f′（x）和g′（x）都存在，并且g′（x）≠0.

（3）如果存在（或为无穷大）.

则

必须注意的是：（1）自变量的变化方式也可以是x→，x→或x→∞，x→-∞，x→+∞，上述法则同样适用.（2）在应用洛必达法则过程中，如果仍是型或?型未定式，则可继续使用洛必达法则.

可见，洛必达法则是以导数为工具来计算未定式的一种方法.

例2.27　计算

分析　当x→0时，arcsin x→0，ex-1→0，此极限属于型未定式.(www.xing528.com)

例2.28　计算

分析　当x→0时，x-sin x→0，x3→0，此极限属于型未定式.

分析　当x→0+时，ln x→-∞，cot x→+∞，此极限属于型未定式.

分析　当x→+∞时，3x→+∞，x3→+∞，此极限属于型未定式.

洛必达法则是求上述类型未定式的有效方法，但也不是万能的，同时要注意洛必达法则与其他求极限方法结合使用.

例2.31　计算

分析　如果直接用洛必达法则，有，此极限不存在，即不满足洛必达法则的使用条件，该题不能使用洛必达法则求解.正确解法为分子分母同除以变量x，其中

分析　如果直接用洛必达法则，分母的求导运算比较复杂.如果先作一次等价无穷小替代，当x→0时，sin x～x，那么运算就会简便许多.