曲线凹凸性和拐点分析

函数在某区间内的图像除了有升降特征外，还有一个特征是弯曲方向.例如，曲线y=x3在定义域内都是上升的，但它们上升的方式却有区别，y=x3在（0，+∞）内是向下弯曲凹上升的，而在（-∞，0）内是向上弯曲凸上升的.

如果函数y=f（x）在（a，b）内的曲线弧位于任意点的切线上方，则称曲线在该区间内是凹的；如果函数y=f（x）在（a，b）内的曲线弧位于任意点的切线下方，则称曲线在该区间内是凸的.曲线上凹与凸的分界点称为函数曲线的拐点.如曲线y=x3在（0，+∞）内是凹的，在（-∞，0）内是凸的，点（0，0）是函数曲线的拐点.

设函数y=f（x）在（a，b）内具有二阶导数，对于（a，b）内任意点x，如果f″（x）＞0，则函数曲线在（a，b）内是凹的；如果f″（x）＜0，则函数曲线在（a，b）内是凸的.

显然，对于函数的二阶导数为零或二阶导数不存在的点x0，如果该点左右两侧的二阶导数符号不同，则点（x0，f（x0））即为函数曲线的拐点.

例2.26　求曲线y=x4-2x3+1的凹凸区间和拐点.

解　函数的定义域为（-∞，+∞）；y′=4x3-6x2，y″=12x2-12x=12x（x-1）.

令y″=0，得x1=0，x2=1，无二阶导数不存在的点，如表2.4所示.

表2.4

所以，函数曲线在（-∞，0）和（1，+∞）内是凹的，在（0，1）内是凸的，点（0，1）和（1，0）为曲线的拐点.

由此也得出可导函数在驻点处是否取得极值的另一种判断法：若函数f′（x0）=0，且函数f（x）在点x0处二阶可导，如果f″（x0）＞0，则f（x0）为极小值；如果f″（x0）＜0，则f（x0）为极大值；如果f″（x0）=0，则此法不能确定.例如，在例2.22中，f″（x）=6x-6，在驻点x1=-1处，f″（-1）=-12＜0，取得极大值；在驻点x2=3处，f″（3）=12＞0，取得极小值.

练习2.3

1.填空题.

（1）函数y=x-ex的单调增加区间为________，单调减少区间为________.

（2）函数f（x）=x+2cos x在上的最大值为________，最小值为________.

（3）若函数f（x）在（a，b）内恒有f′（x）＞0且f″（x）＜0，那么函数曲线在（a，b）内的单调性为________，凹凸性为________.(www.xing528.com)

2.选择题.

（1）f′（x0）=0是可导函数f（x）在点x=x0处有极值的________.

（A　）充分条件　　　（B）必要条件　　　（C）充要条件　　（D）无关条件

（2）若f′（x0）=0且f″（x0）＞0，则x0一定是f（x）的________.

（A）极大值点　　（B）极小值点　　（C）最大值点　　　（D）最小值点

（3）闭区间上连续函数可能取得最值的点是________.

（A）驻点　　（B）不可导点　　　（C）端点　　（D）前三种情况都有可能

（4）可导函数的极值点一定是________.

（A）驻点　　（B）端点　　（C）不可导点　　（D）最值点

3.确定下列函数的单调区间，对应曲线的凹凸性和拐点.

（1）f（x）=x-ln（1+x）；　　（2）f（x）=x3-3x2+1.

4.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值.

5.一旅馆有200个房间，如果每间定价不超过40元则可全部出租，房间定价每高出1元，就会少出租4间，设房间出租后的服务费为8元/间，问管理者应如何定价才能使旅店获利最大?

6.要做一个圆锥形漏斗，其母线长20 cm，其高应为多少时，才能使漏斗体积最大?