设函数y=f（x）在（a，b）内的图像是连续、光滑的曲线，对于（a，b）内任意两点x1和x2，当x1＜x2时，如果f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在（a，b）内单调增加，其对应的曲线是上升的，曲线的切线也是上升的（个别点除外），切线斜率大于零，如图2.3所示，即导数f′（x）＞0；当x1＜x2时，如果f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在（a，b）内单调减少，其对应的曲线是下降的，曲线的切线也是下降的（个别点除外），切线斜率小于零，如图2.4所示，即导数f′（x）＜0.
图2.3
图2.4
1.函数单调性判定法
设函数y=f（x）在（a，b）内可导，对于（a，b）内的任意点x，如果f′（x）＞0，则函数y=f（x）在（a，b）内单调增加；如果f′（x）＜0，则函数y=f（x）在（a，b）内单调减少.
可见，函数单调区间的分界点，就是导数符号正与负的分界，这种分界有两种情况：一种是一阶导数为零的点，即f′（x0）=0，我们把x0称为函数的驻点；另一种是不可导点，是一阶导数不存在的点.
2.确定函数单调性的步骤
（1）确定函数的定义域.
（2）求导数，并求出函数单调区间可能的分界点（驻点和不可导点）.
（3）分区间讨论函数的单调性.
?
例2.21 讨论函数
的单调性.(www.xing528.com)
解 函数的定义域为（-∞，+∞），
当x=0时，导数f′（0）不存在，无驻点，列表讨论如表2.2所示.
表2.2
所以
在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加.
例2.22 讨论函数f（x）=x3-3x2-9x+1的单调性.
解 函数的定义域为（-∞，+∞），
f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
令f′（x）=0，得驻点为x1=-1，x2=3，无不可导点，列表讨论如表2.3所示.
表2.3
所以，函数f（x）=x3-3x2-9x+1在（-∞，-1）和（3，+∞）内单调增加；在（-1，3）内单调减少.
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