高阶导数与变速直线运动

已知变速直线运动的速度v（t）是位移函数s（t）对时间t的导数，即，而加速度a又是速度函数v（t）对时间t的导数，因此

这种导数的导数或[s′（t）]′叫作s对t的二阶导数，记作或s″（t）.故变速直线运动的加速度就是位移函数s对时间t的二阶导数.

定义2.6　若函数y=f（x）的导数y′=f′（x）仍是x的可导函数，则称f′（x）的导数为f（x）的二阶导数，记做y″，f″（x），

类似地，二阶导数的导数叫作三阶导数，记做y‴或；三阶导数的导数叫作四阶导数，记做y（4）或一般地，n-1阶导数的导数叫作f（x）的n阶导数，记作y（n）或

二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地，函数y=f（x）的导数f′（x）叫作函数f（x）的一阶导数.显然，求高阶导数就是多次连续求导.

例2.19　求指数函数y=ax的n阶导数.

解　y′=axln a，y″=axln2a，y‴=axln3a，依此类推y（n）=axlnna，即

（ax）（n）=axlnna

特别地　　　　　（ex）（n）=ex

例2.20　设y=sin x，求y（n）.(www.xing528.com)

同理可得

练习2.2

1.求下列各函数的导数.

2.求曲线y=2x3+3x2-12x+1上具有水平切线的点.

3.求下列函数的导数（f，g是可导函数）.

（3）y=f（sin2x）+f（cos2x）；　　　（4）y=f（ex）eg（x）.

4.求由下列方程所确定的隐函数y=y（x）的导数.

（1）y3+x3-3xy=0；　　　（2）y2=cos（x+y）.

5.用对数求导法求下列函数的导数.