大学应用数学：导数概念

上述两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题，它们的实际意义完全不同，但从数量关系来分析却是相同的，都是研究函数增量与自变量增量比值的极限问题.在自然科学和工程技术领域中许多有关变化率的问题，如非恒稳的电流强度、化学反应速度等都可归结为这类极限.因此把它们抽象成导数的概念.

1.导数的定义

定义2.2　设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx（Δx≠0，x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为

即

如果上述极限不存在，则称函数y=f（x）在点x0处不可导.

根据导数的定义，变速直线运动的物体在t0时刻的瞬时速度v（t0）为位移函数s=s（t）在点t0处的导数，即v（t0）=s′（t0）；曲线L在点M（x0，y0）处切线的斜率就是曲线方程y=f（x）在点x0处的导数，即k切=tan α=f′（x0）.

为了方便起见，导数的定义式还可以写成以下两种形式：令Δx=h，则式（2.1）变成

若令x0+Δx=x，当Δx→0时，有x→x0，则式（2.1）变成

2.单侧导数

利用单侧极限给出函数在一点处的单侧导数的定义.(www.xing528.com)

定义2.3　如果极限

与

存在，则称它们分别为函数y=f（x）在点x0处的左导数和右导数，分别记作和

显然，函数y=f（x）在点x0处可导的充分必要条件是y=f（x）在点x0处的左导数和右导数都存在且相等，即

3.导函数

定义2.4　若函数y=f（x）在（a，b）内每一点处都可导，则称函数y=f（x）在（a，b）内可导.若函数y=f（x）在（a，b）内可导，并且在区间的左、右端点处与都存在，则称函数y=f（x）在[a，b]上可导.若函数y=f（x）在某区间内可导，则对于该区间内的每一个x，都有唯一确定的导数值f′（x）与之对应，这样就确定了一个新的函数，称为函数y=f（x）的导函数，简称导数，记作

由导数的定义，若y=f（x）在某区间I上可导，则y=f（x）在I上的导函数为

显然，函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在点x0处的函数值，即