大学应用数学：函数连续性

1.函数在点x0处的连续性

图1.12

为了建立函数连续性的定义，首先引入增量的概念.

如果变量u从初值u1变化到终值u2，那么终值u2与初值u1的差u2-u1称为变量u的增量，记作Δu，即Δu=u2-u1.

对于函数y=f（x），当自变量由x0变化到x=x0+Δx时，函数的增量可表示为Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f（x）-f（x0），如图1.12所示.

定义1.15　设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量的增量Δx=x-x0趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即

则称函数y=f（x）在x0处连续，x0称为函数y=f（x）的连续点.

若令x0+Δx=x，当Δx→0时，x→x0，则有

即.于是函数y=f（x）在点x0处连续的定义又可叙述为如下定义.

定义1.16　设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果，则称函数y=f（x）在点x0处连续.

如果，则称函数y=f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数y=f（x）在点x0处右连续.显然，函数y=f（x）在点x0处连续的充分必要条件是它在点x0既左连续，又右连续.

由函数连续的定义可知，函数y=f（x）在点x0处连续，必须同时满足以下三个条件：

（1）函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义；

例1.19　讨论函数处的连续性.

解　由图1.13知，，

图1.13

即.所以函数f（x）在点x=0处连续.

2.函数在区间内的连续性

定义1.17　若函数y=f（x）在（a，b）内的每一点都连续，则称函数y=f（x）在（a，b）内连续，或称y=f（x）是（a，b）内的连续函数；若函数y=f（x）在（a，b）内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数y=f（x）在[a，b]上连续，此时也称y=f（x）是[a，b]上的连续函数.

3.初等函数的连续性

由函数在点x0处连续的定义及函数极限的运算法则，可得以下定理.

定理1.9　两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数.

定理1.10　若函数y=f（u）在点u=u0处连续，函数u=φ（x）在点x=x0处连续，且u0=φ（x0），则复合函数y=f[φ（x）]在点x=x0处连续.

这表明在函数y=f（u）和u=φ（x）都连续的条件下，求复合函数f[φ（x）]的极限时，极限符号和函数符号可以交换次序.

由上所述定理及初等函数的定义可得如下重要结论.

定理1.11　一切初等函数在其定义域内均连续.

此定理表明：(www.xing528.com)

（1）求初等函数的连续区间，其实质就是求它的定义域；

（2）对分段函数，除考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性；

（3）由初等函数的连续性知，若f（x）是初等函数，定义域为D，则对任何x0∈D都有

例1.20　求

解　因为是初等函数，且在x=2处有定义，所以

例1.21　当a，b分别为何值时，函数

在（-∞，+∞）上连续.

解　因为f（x）在（-∞，0）与（0，+∞）内都是初等函数，由初等函数的连续性知，f（x）在（-∞，0）与（0，+∞）内都连续，在分段点x=0处，f（0）=b，又

由于当f（0-0）=f（0+0）=f（0）时，函数f（x）在x=0处连续，故得a+1=2=b，即a=1，b=2.

综上所述，当a=1，b=2时，函数f（x）在（-∞，+∞）上连续.

4.闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数有许多重要性质，这些性质的证明涉及严密的实数理论，因此这里不予证明，仅作必要的几何解释.

定理1.12（最值定理）　闭区间上的连续函数在该区间上一定存在最大值和最小值.

设f（x）在[a，b]上连续，它的最大值为M，最小值为m，则对任何x∈[a，b]，都有m≤f（x）≤M.若取K=max{|m|，|M|}，则对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）|≤K，即f（x）在[a，b]上有界，于是得以下定理.

定理1.13（有界性定理）　闭区间上的连续函数在该区间上一定有界.

定理1.14（介值定理）　设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），μ为介于f（a）与f（b）之间的任何数，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=μ.

介质定理的几何意义是明显的.当f（a）≠f（b）且μ介于f（a）与f（b）之间时，连续曲线y=f（x）的两端点A（a，f（a））与B（b，f（b））位于水平线y=μ的两侧，因此曲线y=f（x）与直线y=μ必有交点（见图1.14）.

推论（零点定理）　设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）·f（b）＜0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0（图1.15）.

图1.14

图1.15

即在推论条件下，方程f（x）=0在开区间（a，b）内至少有一个实根.

例1.22　证明方程sin x-x+1=0在0与π之间有实根.

证明　设f（x）=sin x-x+1，因为f（x）在（-∞，+∞）内连续，所以f（x）在[0，π]上连续，且

f（0）=1＞0，f（π）=-π+1＜0

因此由零点定理知，至少存在一点ξ∈（0，π），使得f（ξ）=0，即方程sin x-x+1=0在（0，π）内至少有一个实根.