大学应用数学中的无穷小及其定义

1.无穷小的定义

定义1.12　在自变量x的某一变化趋势下，若函数f（x）的极限为零，则称函数f（x）为自变量x在该变化趋势下的无穷小量，简称无穷小.

例如，函数f（x）=2x-4是x→2时的无穷小；函数是x→∞时的无穷小.

必须注意的是：（1）无穷小是一个以零为极限的变量.它表达的是量的变化状态，而不是量的大小，一个量无论多么小都不是无穷小，0是唯一可看成无穷小的常数.

（2）无穷小与自变量的变化趋势有关.称一个函数是无穷小，必须明确指出自变量的变化趋势，因为对于同一个函数，在自变量的不同变化趋势下，其极限值不同.例如，当x→0时，函数sin x是无穷小；但当x→1时，函数sin x不是无穷小.

2.函数、极限与无穷小的关系

设，即x→x0时，f（x）-A→0.若记α=f（x）-A，则当x→x0时，α为无穷小，且f（x）=A+α，于是得到有极限的函数与无穷小的关系.

定理1.4　的充分必要条件是f（x）=A+α（其中）.(www.xing528.com)

定理1.4中自变量x的变化方式换成其他任何一种情形（，x→∞，x→-∞，x→+∞）后结论仍然成立.

3.无穷小的运算性质

性质1.1　有限个无穷小的代数和仍为无穷小.

性质1.2　有限个无穷小的乘积仍是无穷小.

性质1.3　有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

推论　常数与无穷小的乘积仍是无穷小.

此例说明无穷多个无穷小之和不一定是无穷小.