数列极限求解，大学应用数学

1.数列极限的概念

定义1.4　对于数列{un}，当n无限增大时，通项un无限接近于某个确定的常数a，则常数a称为数列{un}的极限，此时也称数列{un}收敛于a，记作或un→a（n→∞）.若数列{un}的极限不存在，则称数列{un}发散.

例1.6　观察下列数列的极限.

（3）{un}={2n+1}：3，5，7，…，2n+1，…；

（4）{un}={（-1）n}：-1，1，-1，1，…，（-1）n，….

解　当n→∞时，数列（1）的通项越来越接近于常数1；而数列（2）的通项越来越接近于常数0；数列（3）的通项un=2n+1趋于无穷大；数列（4）的通项u n={（-1）n}在-1与1之间交替出现而不趋于任何确定的常数，所以得

2.数列收敛的判断准则(www.xing528.com)

为了进一步考察数列是否有极限，先介绍两个概念：数列的单调性和有界性.

定义1.5　对于数列{un}，若对任何正整数n，都有un≤un+1（或un≥un+1）成立，则称数列{un}为单调递增数列（或单调递减数列），单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列.

例如，数列{3n}为单调递增数列；数列为单调递减数列.

定义1.6　对于数列{un}，如果存在正数M，使得对于任何正整数n，都有|un|≤M成立，则称数列{un}为有界数列；否则称该数列为无界数列.

例如，数列为有界数列，因为对任何正整数n，都有；数列{3n}为无界数列.

定理1.1（数列收敛判断定理）　单调有界数列必有极限.