非线性屈曲分析原理解析

为了进一步探讨树状结构的结构缺陷和结构失稳机制，在前面提及的特征值屈曲分析的基础上，对树状结构进行非线性屈曲分析。其中考虑几何非线性对于树状结构的整体稳定性能的影响。目前非线性特征值屈曲分析的应用已经很成熟了。

在固体力学的问题中，所有现象都是非线性的。然而在工程项目中遇见的很多工程问题，近似地使用线性理论来处理简单切实可行，并且符合工程中的精度要求。

结构的非线性分析问题可以分为三大类：几何非线性问题、材料非线性问题、状态非线性问题。一般来说，结构非线性问题并不是单纯的某一类问题，可能需要同时考虑共同作用的非线性问题，其中包括3种非线性问题并存的情况，这些问题都可以用ANSYS来解决。

非线性方程一般采用Newton-Raphon方法，这是求解非线性方程的线性化方法，对于树状结构来说，应考虑的是几何非线性问题，结构的平衡方程为：

写成Newton-Raphon法迭代公式为：

在实际工程中，因为几何变形引起的结构刚度改变的一类问题是属于几何非线性问题。换句话说，结构的平衡方程必须在未知变形后的位置上建立，否则就会导致结果错误。在有限元分析中，结构刚度矩阵是由总体坐标系下的单元刚度矩阵集合而成，在总体坐标系下的单刚矩阵是由单元局部坐标系下的单刚矩阵转换来的，对此，导致结构刚度变化有以下3种原因：(www.xing528.com)

单元形状改变，导致单刚变化；

单元方向改变，导致单元刚度矩阵向总体坐标系下转换时发生变化；

单元较大的应变使单元在某个面内具有较大的应力状态，从而影响面外的刚度。

几何非线性通常分为3种情况：大应变、大位移和应力刚化。其中大应变包括单元形状改变，单元方向改变和应力刚化效应3种可以导致结构刚度变化因素，而大位移需要考虑的是单元方向（也就是大转动）和应力刚化效应。

本节对树状结构进行非线性屈曲分析时，为了达到对比说明的效果，树状结构的计算模型和树状结构的各种参数设置和特征值屈曲分析的模型设置相同，在进行非线性屈曲分析过程中，根据结构在特征值屈曲分析过程中得到的一阶失稳模态施加初始缺陷。材料的非线性考虑使用理想状态下的弹塑性模型。在进入求解状态时，采用弧长法对树状结构进行非线性整体分析。