树状结构有限元模型的及找形算法研究

本节树状结构的通用有限元模型通过数值建模软件ANSYS进行建立，采用之前提到的双单元法进行创建，这种方法假定树状结构的每一个构件由两个单元组成，即只有抗弯刚度的梁单元和没有抗弯刚度的梁单元。杆单元的横截面积远大于梁单元，梁单元的抗弯刚度远大于杆单元。在找形分析中，降低抗弯刚度以减小抗弯刚度的影响，因此梁单元可以更好地模拟丝线模型。基于逆吊递推方法的基本思想，在上方施加指定的载荷。这样通过多次迭代，所有构件均只受轴向力的作用，弯矩较小可以忽略不计。

通过以树状结构作为支撑的火车站、机场等一些大跨度空间结构，普遍所支撑起来的屋顶结构的刚度要大大超过了树状结构自身的刚度。而且树状结构像自然界中的树一样向外扩展，直接地使自身所要承受的屋顶跨度和挠度减小，这样就可以忽略屋顶结构产生的变形，假定屋顶刚度远大于树状结构自身的刚度，基于这一假定，屋顶除了会向下传递荷载外，树状结构还会遭受到水平力的作用，而且树状结构自身受力比较均匀，本节的树状结构进行分析时采用均布荷载。根据连接形式的不同，一般屋架结构与下部支撑结构采用刚接或者铰接，本节在考虑树状结构的基本受力状态，采用铰接的形式，树干底部采用固接形式。对于树状结构的特征值屈曲分析，本节以五级树状结构为例进行分析。

2.2.1　五级六分枝树状结构

五级六分枝树状结构就是以树干为基础，一级分枝为六分叉，继续向上分级，二级分枝为四分叉，三级分枝为四分叉，四级分枝为两分叉，五级分枝为两分叉，如图5—1给出了5—6—4—4—2—2空间树状结构计算简化模型。

通过建立五级的空间树状结构，利用ANSYS通用有限元软件进行特征值屈曲分析，提取树状结构的特征值屈曲模态，根据屈曲分析获得屈曲荷载系数，进而可以求得屈曲荷载。

本节研究对于树状结构各级构件的截面取值、刚度取值如表5—1所示。

图5-1　空间树状结构计算简化模型

表5-1　空间树状结构截面参数

树干高度取1m，每级分枝长度分别是前一级分枝的0.7倍。

初始条件下五级分枝树状结构屈曲模态如图5—2、图5—3所示：

图5-2　五级分枝树状结构找形前特征值屈曲模态

图5-3　五级分枝树状结构找形后特征值屈曲模态

根据有限元软件ANSYS针对树状结构在找形前后进行特征值屈曲分析，分别得到找形前树状结构特征值屈曲分析的第一阶模态失稳图和找形后树状结构的第一阶模态失稳图。

根据图5—2和图5—3可以清晰地看出，树状结构的失稳主要发生在树干与一级分枝的连接节点和五级分枝的末梢，而且树干部位与一级分枝全都发生了明显的变形。结果表明，结构在发生失稳的时候，最大应力产生在五级分枝的末梢，同时树干根部承受结构的最大应力，同时树干部位发生最大的变形。在设计和工程实践中应对树干部位进行强化，这对提高树状结构的整体稳定性具有极高的工程价值和研究意义。

在根据树状结构在找形前后结构失稳变形图可以看出，找形之前结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.382016m，占据结构高度的8.7%，这说明结构在失稳时已经发生破坏；找形之后结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.369664m。而且，两次最大位移均出现在结构的顶部，通常都是最高级分枝的最外侧分枝顶部，也就是分枝末梢。

在以上研究的基础上，在确定树状结构各级分枝截面积和截面属性后，对树干的各级分枝长度进行一系列系统性的研究，首先将树干各级分枝的长度与上一级分枝长度比设为1，进行有限单元特征值屈曲分析后，再将树状结构各级分枝的长度与上一级分枝长度比设为1.2。

2.2.2　长度系数均为1.0的树状结构

树干高度取1m，每级分枝长度分别是前一级分枝的1.0倍。

初始条件下五级分枝树状结构屈曲模态如图5—4、图5—5所示：

图5-4　长度比1.0找形前特征值屈曲模态

(www.xing528.com)

图5-5　长度比1.0找形后特征值屈曲模态

根据有限元软件ANSYS针对树状结构在找形前后进行特征值屈曲分析，分别得到找形前树状结构特征值屈曲分析的第一阶模态失稳图和找形后树状结构的第一阶模态失稳图。

根据图5—4和图5—5可以清晰地看出，树状结构的失稳主要发生在树干与一级分枝的连接节点和五级分枝的末梢，而且树干部位与一级分枝全都发生了明显的变形。结果表明，结构在发生失稳的时候，最大应力产生在五级分枝的末梢，同时树干根部承受结构的最大应力，而且树干部位发生最大的变形。在设计和工程实践中应对树干部位进行强化，针对最高级分枝起到一定的优化作用。这对提高树状结构的整体稳定性具有极高的工程价值和研究意义。

在根据树状结构在找形前后结构失稳变形图可以看出，找形之前结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.888889m，占据结构高度的8.7%，这说明结构在失稳时已经发生破坏；找形之后结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.888889m。而且，两次最大位移均出现在结构的顶部，通常都是最高级分枝的最外侧分枝顶部，也就是分枝末梢。通过图形发现，对两者进行对比，找形前后的树状结构的最大位移都是0.888889m，而且都是发生在最高级分枝的末梢。可以推断出，找形对于树状结构影响不是很大。

2.2.3　长度系数均为1.2的树状结构

树干高度取1m，每级分枝长度分别是前一级分枝的1.2倍。

初始条件下五级分枝树状结构屈曲模态如图5—6、图5—7所示：

图5-6　长度比1.2找形前特征值屈曲模态

图5-7　长度比1.2找形后特征值屈曲模态

根据有限元软件ANSYS针对树状结构在找形前后进行特征值屈曲分析，分别得到长度比为1.2的找形前树状结构特征值屈曲分析的第一阶模态失稳图和找形后树状结构的第一阶模态失稳图。

根据图5—6和图5—7可以清晰地看出，树状结构的失稳主要发生在树干与一级分枝的连接节点和五级分枝的末梢。而且树干部位与一级分枝全都发生了明显的变形。结果表明，结构在发生失稳的时候，最大应力产生在五级分枝的末梢，同时树干根部承受结构的最大应力，而且树干部位发生最大的变形。和图对比起来可以看出，级别越高分枝越长的树状结构在树干部位产生的变形没有那么明显。但是在设计和工程实践中应对树干部位进行强化，针对最高级分枝起到一定的优化作用。这对提高树状结构的整体稳定性具有极高的工程价值和研究意义。

在根据树状结构在找形前后结构失稳变形图可以看出，找形之前结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.888889m，占据结构高度的8.7%，这说明结构在失稳时已经发生破坏；找形之后结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.888889m。而且，两次最大位移均出现在结构的顶部，通常都是最高级分枝的最外侧分枝顶部，也就是分枝末梢。通过图形发现，对两者进行对比，找形前后的树状结构的最大位移都是0.888889m，而且都是发生在最高级分枝的末梢。

对于长度系数比为1和长度系数比1.2的树状结构，结构发生的总位移是相同的，没有发生变化，可以推断出，级别越高分枝越长的树状结构在找形分析前后结构失稳的总位移变化基本相同。

2.2.4　大夹角的树状结构

图5-8　大夹角树状结构找形前特征值屈曲模态

图5-9　大夹角树状结构找形后特征值屈曲模态

根据有限元软件ANSYS针对树状结构在找形前后进行特征值屈曲分析，分别得到大角度找形前树状结构特征值屈曲分析的第一阶模态失稳图和找形后树状结构的第一阶模态失稳图。

根据图5—8和图5—9可以清晰地看出，树状结构的失稳主要发生在树干与一级分枝的连接节点和五级分枝的末梢，而且树干部位与一级分枝全都发生了明显的变形。结果表明，结构在发生失稳的时候，最大应力产生在五级分枝的末梢，同时树干根部承受结构的最大应力，而且树干部位发生最大的变形。两图对比起来可以看出，级别越高分枝越长的树状结构在树干部位产生的变形没有那么明显。但是在设计和工程实践中应对树干部位进行强化，针对最高级分枝起到一定的优化作用。这对提高树状结构的整体稳定性具有极高的工程价值和研究意义。

在根据树状结构在找形前后结构失稳变形图可以看出，找形之前结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.409243m，占据结构高度的8.7%，这说明结构在失稳时已经发生破坏；找形之后结构发生失稳破坏时，结构的失稳总位移为0.324348m。而且，两次最大位移均出现在结构的顶部，通常都是最高级分枝的最外侧分枝顶部，也就是分枝末梢。通过图形发现，对两者进行对比，找形前后的树状结构的最大位移相差不是特别明显，而且都是发生在最高级分枝的末梢。

和图中的图片进行对比，可以明显地看出大夹角的树状结构发生的失稳总位移要大于小夹角的失稳总位移，所以由此可以推出在实际工程项目中当结构进行大夹角的设计时，要对于高级分枝进行一定的防护工作，防止因为分枝的失稳导致人民生命财产的损失。