特征值屈曲分析原理-树状结构拓扑及找形算法研究

根据结构体系失稳的性质，稳定问题主要可以分为两大类：一是平衡分岔失稳，也叫作分枝点失稳；二是跃越失稳，也叫作跳跃失稳。平衡分岔失稳（分枝点失稳）是一种理想化的情况，当结构遭受的荷载达到了一定值时，除原来结构所处的平衡状态之外，还有可能出现第二种平衡状态。在数学上针对此类问题的求解方法实际上就是求解矩阵方程中的特征值问题，所以这种分析方法也就称之为特征值屈曲分析。其分析的机制如下：

在结构处于稳定平衡状态时，对于轴向力与中面内力对结构弯曲变形的影响，借鉴势能驻值原理可以推得理想状态下结构的平衡方程为：

方程（5—1）中，表示的是结构的弹性刚度矩阵；表示的是结构的几何刚度矩阵，也可以叫作初应力刚度矩阵；为节点坐标位移向量；为节点荷载向量。每一组外部荷载都对应着相应的几何刚度矩阵。

当结构处于随遇平衡状态时也就是处于临界失稳状态是时，系统势能的二阶微分应该等于零，因此可以推得：

即：

公式中的结构弹性刚度矩阵是已知的，未知的外荷载就是需要求解的屈曲荷载，为了求解屈曲荷载，可以任意假设一组外部荷载，使。而与其相对应的几何刚度矩阵为，所以可以推导出，因此，公式可以转化为：(www.xing528.com)

则结构的特征值方程最终为：

这样，结构的整体稳定问题就转化成了求解特征值方程的问题。其中，iλ是结构第i阶屈曲状态下的特征值，而且相对应的第i阶屈曲荷载为为对应的特征向量，是对应阶层的屈曲荷载时结构的屈曲模态。

基于以上提及的特征值屈曲分析的原理，在计算模拟时采用通用有限元分析软件ANSYS进行分析。而采用ANSYS进行特征值屈曲分析的步骤为：

建立有限元模型，进行结构静力分析，进行特征值屈曲分析，求解。