了解抛物线的定义和性质，求解标准方程和相关坐标、方程

考点剖析：了解抛物线的定义，了解它的标准方程和几何性质；会求抛物线的标准方程，会根据标准方程求焦点坐标、准线方程等，了解抛物线的简单应用.

1.抛物线的定义：平面内到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程、图像及性质如下表所示：

【题型1】抛物线的定义及几何性质

例1　求抛物线x2=-8y的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离.

解：由题知：-2p=-8，所以p=4，

所以它的焦点坐标是（0，-2），准线方程是y=2，焦点到准线的距离是4.

例2　点A是抛物线x2=4y上一点，它到焦点的距离为13，则点A到准线的距离是多少？

解：因为抛物线上任一点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点A到准线的距离是13.

【锦囊妙计】抛物线焦点随“一次项”走.

赢在起点

1.抛物线x2=-8y的焦点是________________，准线方程是________________，焦点到准线的距离是________________.

2.抛物线y2+16x=0的焦点是______________，准线方程是________________，焦点到准线的距离是________________.

3.抛物线的焦点是_________________，准线方程是________________，焦点到准线的距离是________________.

4.点M是抛物线y2=16x上一点，它到准线的距离为20，则点A到焦点的距离是___________，A点的横坐标是___________，纵坐标是___________.

【题型2】求抛物线的标准方程

例1　已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且焦点到准线的距离是6，求该抛物线的标准方程.

解：由题知p=6，所求抛物线的标准方程是y2=12x或y2=-12x.

例2　已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过A（2，-4），求该抛物线的标准方程.

解：由题意可设抛物线的标准方程是x2=-2py或y2=2p′x

解得

所求抛物线的标准方程是x2=-y或y2=8x.

赢在起点

1.抛物线的焦点是A（3，0），准线方程是x=-3，则抛物线的标准方程是__________.

2.抛物线的焦点是A（0，-2），顶点在原点，则抛物线的标准方程是_____________.

3.焦点在y轴上的抛物线经过A（2，2），则抛物线的标准方程是___________.

【题型3】抛物线标准方程的应用

例1　抛物线y2=4x上有一点A，它到焦点的距离为6，求点A的坐标.

解：如图所示，抛物线的焦点坐标是F（1，0），准线l的方程为x=-1，过A作AM⊥l，垂足是M，AM交y轴于N，由抛物线的定义得知

所以，因而得知A点的横坐标是5，

把它代入抛物线方程y2=4x，得y=±2，

所以A的坐标为（5，2）或（5，-2）.

例2　已知点A（2，1），F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点，则的最小值是多少？

解：如图所示，P为抛物线上任一点，分别过P，A向y轴作垂线，垂足分别为M，M1，因为

在△PAM中，

而

又因为

所以

即

赢在起点

1.抛物线y2=16x上有一点A，它到焦点的距离为9，则点A到准线的距离是________，点A的横坐标是________，纵坐标是________，所以点A的坐标是____________.

2.抛物线x2=-12y上有一点B，它到焦点的距离为5，则点B到准线的距离是______，点B的纵坐标是______，横坐标是______，所以点B的坐标是____________.

3.抛物线y2=-8x上有一点M，它到焦点的距离为7，则点M的坐标是___________.

【题型4】直线与抛物线的关系

例　已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，并且经过点（1，2），

（1）求抛物线的标准方程；

（2）经过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，求的长；

（3）经过点D（0，4）作直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为直径作圆.试问圆能否经过原点？若能，求出此时直线MN的方程；若不能，请说明理由.

解：（1）由题可设抛物线的标准方程为y2=2px，因为过点（1，2），所以22=2p×1，

解得p=2，所以抛物线的方程是y2=4x，

（2）因为抛物线的方程是y2=4x，所以它的焦点F（1，0），

又k=tan 60°=，由直线的点斜式方程得：y=（x-1）即

由解得

所以

（3）以线段MN为直径作圆能经过原点，理由如下：不妨设MN所在直线的斜率为k，则MN的直线方程为y=kx+4，再设M（x1，y1），N（x2，y2），假设以MN为直径的圆能经过原点，则有∠MON=90°，所以OM⊥ON，kOM×kON=-1，

即　x1x2+y1y2=0

联立解方程组得

由x1x2+y1y2=0得，解得k=-1

所以MN的直线方程为y=-x+4，即x+y-4=0.

赢在起点

1.抛物线y2=4x的焦点坐标是__________，过焦点的直线其倾斜角（锐角）的正弦值是，则该直线的斜率是__________，直线的方程是____________，直线与抛物线的交点坐标是_____________________，交点间的距离是__________.

2.抛物线x2=2y的焦点坐标是________，直线y=kx-3，若直线与抛物线有交点，则斜率k的取值范围是_____________，若k=3，则直线与抛物线相交于两点，这两点的坐标是________________，它们的距离是________，这两点与原点构成了一个三角形，这个三角形的面积是___________.

一、填空题

1.抛物线是平面内到一定点F的距离与它到一定直线l的距离________的点的轨迹.

2.焦点在x轴的正半轴上的抛物线标准方程是____________，其焦点坐标是____________，准线方程是____________.

3.焦点在y轴的负半轴上的抛物线标准方程是____________，其焦点坐标是____________，准线方程是____________.

4.抛物线标准方程中“p”表示的是_________________________________.

5.抛物线y2+8x=0的焦点坐标是____________________.

6.顶点在原点，焦点F（0，-3）的抛物线标准方程是____________________.

7.抛物线方程y2=-16x，则它的焦点到准线的距离是____________________.

8.抛物线方程x2=-4y，则它的准线方程是____________________.

9.抛物线的顶点在原点，准线方程为y=-2，则它的标准方程是____________________.

10.抛物线y2-12x=0的焦点坐标是____________，准线方程是____________________.

11.顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为5，且焦点在x轴负半轴上的抛物线标准方程是____________________.(www.xing528.com)

12.抛物线y2=20x上一点P，它到焦点的距离是15，则其到准线的距离是__________，它的横坐标是____________，点P的坐标是____________.

二、选择题

1.顶点在原点，准线为x=-2的抛物线方程是（　）.

A.y2=8x　B.y2=-8x　C.x2=8y　D.x2=-8y

2.顶点在原点，焦点F（1，0）的抛物线标准方程是（　）.

3.顶点在原点，对称轴是x轴且经过点P（-3，2）的抛物线，其标准方程是（　）.

4.焦点是F（0，-4），准线是y=4的抛物线方程是（　）.

A.y2=16x　B.y2=-16x　C.x2=16y　D.x2=-16y

5.对称轴是y轴，焦点到准线的距离为7的抛物线方程是（　）.

A.y2=14x　B.x2=14y

C.x2=-14y　D.x2=14y或x2=-14y

一、填空题

1.对称轴是x轴，且过点P（2，6）的抛物线标准方程是____________________.

2.抛物线x2=16y上有一点Q，它到焦点的距离为9，则它的坐标是____________.

3.已知直线y=2x+b与抛物线y=x2有两个交点，则b的取值范围是_____________.

4.若直线y=2x+m与抛物线y2=4x没有公共点，则m的取值范围是____________.

5.抛物线的焦点坐标是____________________.

6.顶点为坐标原点，且经过点M（1，-3），则抛物线的标准方程是____________________.

7.以双曲线的左顶点为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程是_____________________.

8.过抛物线x2=-12y的焦点且倾斜角为45°的直线方程是____________________.

9.抛物线y2=-2x与直线x-y+4=0的相交，其交点坐标是____________________.

10.抛物线x2=-4y的焦点到直线3x+4y-5=0的距离是____________________.

二、选择题

1.与平面一定点（-1，0）和定直线x=1的距离相等的点的轨迹方程是（　）.

A.x2=2y　B.x2=4y　C.y2=2x　D.y2=-4x

2.直线y=x+1与抛物线x2=4y相交于M，N两点，O为坐标原点，则S△MON=（　）.

A.2　B.4　C.　D.2

3.过抛物线y2=8x的焦点且与直线x+y-5=0平行的直线方程是（　）.

A.x-y-2=0　B.x-y-4=0　C.x+y-4=0　D.x+y-2=0

4.以椭圆的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是（　）.

A.y2=-12x　B.y2=-6x　C.x2=-6y　D.x2=-12y

5.以C（-2，1）为圆心，经过抛物线x2=4y的焦点的圆的标准方程是（　）.

A.（x+2）2+（y-1）2=10　B.（x+2）2+（y-1）2=2

C.（x-2）2+（y+1）2=10　D.（x+2）2+（y-1）2=4

三、解答题

1.在抛物线y2=12x上找一点P，它与焦点的距离为9，求点P的坐标.

2.过抛物线y2=-8x的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求：

（1）该直线的方程；

（2）

（3）△OAB的面积.

3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，焦点坐标F（0，1），

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若过点A（0，m），且斜率为2的直线与该抛物线没有交点，求m的取值范围；

（3）过焦点F且与x轴平行的直线与抛物线相交于P，Q两点，求以F为圆心，PQ为直径的圆的方程.

1.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，-3）到焦点的距离为5，（1）求m的值；（2）过焦点F作垂直于y轴的直线交抛物线于A，B两点，求A　B.

2.已知抛物线x2=-4y，过抛物线的焦点且倾斜角为45°的直线交抛物线于P，Q两点，

（1）求直线PQ的方程；

（2）求直线PQ与坐标轴围成的三角形的面积；

（3）是否存在一条过焦点直线l，当l与抛物线交于A，B点，且以AB为直径的圆经过坐标原点.若存在，求出这条直线的方程；若不存在，说明理由.

自我评价

（满分100分，时间45分钟）　评价结果：__________

一、填空题（每题5分，共50分）

1.椭圆的焦点坐标为____________________.

2.椭圆9x2+5y2=45的离心率是____________________.

3.椭圆经过点P（-2，0），且长轴是短轴的2倍，则椭圆的标准方程是________________.

4.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长是____________________.

5.双曲线上一点到它一个焦点的距离等于1，则该点到另一个焦点的距离等于____________________.

6.双曲线的焦点在x轴上，其中a=2 5，且经过点（-5，2），则双曲线的标准方程是____________________.

7.双曲线的两条渐近线方程是____________________.

8.抛物线x2=12y的焦点坐标为____________________.

9.顶点在原点，准线是x=4的抛物线的标准方程是____________________.

10.抛物线4y2-x=0的准线方程是_____________________.

二、选择题（每题5分，共20分）

1.椭圆的的离心率是（　）.

2.椭圆的长轴为6，且长轴在y轴上，离心率为，则该椭圆的标准方程是（　）.

3.一个焦点坐标为（0，-10），虚轴长为16的双曲线的标准方程是（　）.

4.准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（　）.

A.y2=-4x　B.y2=-8x　C.y2=4x　D.y2=8x

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F1（-5，0），一条渐近线方程是4x-3y=0，求双曲线方程.

2.有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

3.点P是椭圆4x2+5y2=20上的一点，且它在x轴的上方，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为-1的直线PF2与椭圆交于Q点，M为PQ的中点，求△MF1F2的面积.