双曲线定义、方程和几何性质简析

考点剖析：了解双曲线的定义；了解标准方程和几何性质；了解a，b，c关系式，会根据标准方程求焦点坐标、离心率等，了解根据双曲线的简单应用.

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值是常数（2a）的点的轨迹称为双曲线.两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为焦距（2c）.

2.双曲线的标准方程及几何性质如下表所示：

3.等轴双曲线：实半轴长a与虚半轴长b相等的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x.

【题型1】双曲线的定义及几何性质

例1　已知双曲线4x2-9y2=36，求它的实轴长、虚轴长，焦距、离心率、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程.

解：由4x2-9y2=36，得

所以a2=9，a=3；　b2=4，b=2

又因为c2=a2+b2，故c2=13，c=

所以双曲线的实轴长2a=6，虚轴长2b=4，焦距2c=2，离心率，焦点坐标

F1（-，0），F2（，0），顶点坐标分别为A1（-3，0），A2（3，0），渐近线方程是

例2　已知点P（x，y）是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，则=________.

解：由题知a=3，b=4，

所以

【锦囊妙计】双曲线焦点随“被减项”走

赢在起点　

1.双曲线，则它的实轴长是________，虚轴长是________，焦距是________，离心率是________，焦点坐标是____________，顶点坐标是____________，x的取值范围是____________，y的取值范围是____________，渐近线方程是________________.

2.双曲线，则它的实轴长是________，虚轴长是________，焦距是________，离心率是________，焦点坐标是____________，顶点坐标是____________，x的取值范围是____________，y的取值范围是_____________，渐近线方程是____________.

3.椭圆上一点M（x，y），则=____________.

4.方程表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是____________.

【题型2】求双曲线的标准方程

例　已知双曲线的焦点F1（-5，0），F2（5，0），离心率，求双曲线的标准方程.

解：因为双曲线的焦点F1（-5，0），F2（5，0），所以c=5，且双曲线的焦点在x轴上，由e=得，解得a=3，又由c2=a2+b2得32+b2=52，解得b=4，

所以双曲线的标准方程是.

赢在起点

1.双曲线的实半轴长为3，虚半轴长为2，若焦点在x轴上，则双曲线的标准方程是______________，若焦点在y轴上，则双曲线的标准方程是______________.若实半轴长为5，虚半轴长为4，则双曲线的标准方程是____________________.

2.顶点过M（4，0），且实轴长是虚轴长的2倍，则a=________，b=________，c=________，焦点在________轴上，该双曲线的标准方程是________________________.

3.双曲线的焦点F1（0，-5），F2（0，5），离心率，则a=________，b=________，c=___________，焦点在___________轴上，该双曲线的标准方程是___________.

【题型3】双曲线标准方程的应用

例1　已知双曲线=1（m＞0）的左焦点为（-4，0），则m=（　）.

A.2　B.4　C.3　D.±2

解：由题知c=4，由c2=a2+b2得m2=12，又m＞0，所以选A.

例2　已知M是双曲线=1上的一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且则△F1MF2的面积是多少？

解：由题知a=4，b=3，由c2=a2+b2得c=5，

设，由题意得

由②得m2+n2-2mn=64

代入①得mn=18

所以

赢在起点

1.某双曲线的左焦点与左顶点的距离为2，虚轴长是8，则a=______，b=______，c=______，双曲线的焦点在______轴上，该双曲线的标准方程是____________________.

2.已知P是椭圆上的点，且满足（F1，F2为椭圆的焦点），则△F1PF2的面积是___________.

【题型4】直线与双曲线的关系

例　已知双曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，且实半轴长a=，离心率

（1）求此双曲线的标准方程；

（2）若直线l：y=mx+1与双曲线交于A，B两点，求实数m的取值范围；

（3）是否存在这样的实数m，使A，B两点关于直线y=2x+6对称？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.

解：（1）由题知：

解得c=，

由c2=a2+b2得2+b2=3，解得b=1，

所以双曲线的标准方程为

（2）由题意得，由①得x2-2y-2=0　③

代②入③得x2-2（mx+1）2-2=0，

即（1-2m2）x2-4mx-4=0，

又直线与双曲线要有两个交点，必须满足：Δ＞0且1-2m2≠0，

所以（-4m）2-4×（1-2m2）×（-4）＞0，化简得m2＜1，

解得-1＜m＜1且

所以实数m的取值范围是

（3）存在.理由如下：

先不妨假设存在符合条件的m，则AB所在直线l与直线y=2x+6垂直，所以AB的方程为，且AB的中点一定在直线y=2x+6上，这时(www.xing528.com)

由解得

即A（-2+2，2-），B（-2-2，2+），

AB的中点坐标为（-2，2），而这点的坐标刚好满足直线y=2x+6的方程，所以它在此直线y=2x+6上，

所以当时，A、B两点关于直线y=2x+6对称.

赢在起点

2.双曲线x2-y2=2的两个焦点F1，F2的坐标分别是____________，离心率是________，顶点坐标是________________，若直线y=-x+b与该双曲线有两个交点，则b的取值范围是___________.

一、填空题

1.双曲线是平面内到两定点的________________________________点的轨迹.

2.焦点在x轴上的双曲线标准方程是____________________.焦点在y轴上的双曲线标准方程是____________________.

3.双曲线中a，b，c的关系式是________________，它的离心率e=________________.

4.双曲线中a=____，b=____，c=____，其顶点坐标是____________，焦点坐标是

________，离心率是___________，渐近线方程是____________.

5.双曲线中a=________，b=________，c=________，其顶点坐标是____________________，焦点坐标是________，离心率是________，渐近线方程是________.

6.双曲线它的焦点坐标是____________________，顶点坐标是____________.

7.双曲线的实轴长是__________，顶点坐标是______________.

8.双曲线的实轴长是____________，虚轴长是____________，焦点坐标是___________，渐近线方程是_______________，离心率是____________.

9.双曲线4x2-9y2=36的焦距是____________________，实轴长是____________________，渐近线方程是___________.

10.双曲线的焦距是____________________，顶点坐标是____________，离心率是____________.

11.已知点M（x，y）是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，则=____________________.　

12.实半轴长为3，焦点坐标F1（0，5），F2（0，-5）的双曲线的标准方程是______________.

13.焦点在x轴上，实轴长为6，离心率为2的双曲线的标准方程是______________.

14.虚轴长为4，焦点坐标F1（-3，0），F2（3，0）的双曲线的标准方程是______________.

15.（2016年高考题）已知双曲线关于y轴对称，且一个焦点坐标为（6，0），离心率为，则该双曲线的方程为____________.

二、选择题

1.双曲线的焦距是（　）.

A.4　B.　C.2　D.8

2.已知双曲线，则该双曲线的实轴长为（　）.

A.8　B.6　C.4　D.3

3.焦点在y轴上，焦距是18，离心率为的双曲线方程是（　）.

4.实轴长为8，一个焦点坐标为（5，0），则该双曲线的标准方程是（　）.

5.实轴长为2，虚轴长为2，焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程是（　）.

一、填空题

1.双曲线x2-y2=8的焦点坐标是________________，离心率是________，渐近线方程是____________________.

2.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是____________.

3.若方程表示双曲线，则m的取值范围是________________.

4.焦点坐标是F1（-8，0），F2（-8，0），离心率为，则双曲线的标准方程是____________.

5.双曲线x2-y2=-2的焦点坐标是________________.

6.双曲线的两焦点为F1，F2，此双曲线上一点P到F2的距离为4，则P到F1的距离为________________.

7.经过点A1（-6，0），A2（6，0）其渐近线方程为的双曲线标准方程是__________.

8.虚轴长为10，离心率为，则双曲线的标准方程是________________________.

9.双曲线的一个焦点是（0，2），渐近线的方程为y=±x，则双曲线的方程为__________.

10.过双曲线7x2-9y2=63的左焦点且垂直于直线x+3y+4=0的直线方程为__________.

二、选择题

1.双曲线3x2-4y2=12的两条渐近线方程是（　）.

2.一个焦点坐标为（0，-10），虚轴长为16的双曲线的标准方程是（　）.

3.等轴双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为（-4，0），则它的标准方程是（　）.

4.设，则方程表示的曲线是（　）.

A.焦点在x轴上的椭圆　B.焦点在y轴上的椭圆

C.实轴在x轴上的双曲线　D.实轴在y轴上的双曲线

5.已知双曲线的两个焦点为F1，F2，设点P是双曲线上一点，当PF1⊥PF2时，△PF1F2的面积为（　）.

A.8　B.9　C.16　D.18

三、解答题

1.求以椭圆的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的双曲线方程.

3.已知方程表示双曲线，求m的取值范围.

1.已知双曲线的一条渐近线方程是3x+4y=0，且一个焦点是（5，0），求双曲线的标准方程和离心率.

2.设F1，F2是双曲线的两个焦点，点B在双曲线上且满足∠F1BF2=90°，求△F1BF2的面积.