椭圆的定义、标准方程和几何性质，椭圆的应用

考点剖析：理解椭圆的定义；掌握标准方程和几何性质，理解a，b，c关系式，会求椭圆的标准方程，会根据标准方程求焦点坐标、离心率等；了解椭圆的简单应用.

1.椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离之和是常数（2a）的点的轨迹称为椭圆.

定点F1，F2称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为焦距（2c）.

2.椭圆的标准方程和几何性质如下表所示：

【题型1】椭圆的定义及几何性质

例1　已知椭圆4x2+9y2=36，求它的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标、顶点坐标.

解：由4x2+9y2=36得：

所以　a2=9，a=3；b2=4，b=2

又因为　c2=a2-b2，所以　c2=5，c=

所以椭圆的长轴长2a=6，短轴长2b=4，焦距2c=2，离心率，焦点坐标

例2　已知点P（x，y）是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则=____________________.

解：由题知a=5，b=3，

所以

【锦囊妙计】椭圆焦点随“大”走

赢在起点

1.椭圆9x2+16y2=144，则它的长轴长是__________，短轴长是__________，焦距是__________，离心率是__________，焦点坐标是__________，顶点坐标是__________，x的取值范围是__________，y的取值范围是__________.

2.椭圆4x2+3y2=12，则它的长轴长是__________，短轴长是__________，焦距是__________，离心率是__________，焦点坐标是__________，顶点坐标是__________，x的取值范围是__________，y的取值范围是__________.

3.椭圆上一点M（x，y），则=__________.

4.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是__________.

【题型2】求椭圆的标准方程

例1　已知椭圆的焦点F1（0，6），F2（0，-6），离心率，求椭圆的标准方程.

解：因为椭圆的焦点为F1（0，6），F2（0，-6），所以c=6，且椭圆的焦点在y轴上，

由，解得a=10，

又由c2=a2-b2得102-b2=36，解得b=8　

所以椭圆的标准方程为

例2　已知椭圆经过M（3，0），且长轴长是短轴长的3倍，求椭圆的标准方程.

解：因为椭圆经过M（3，0），则有

（1）当M为长轴上的顶点时，a=3，且椭圆的焦点在x轴上，则b=1，所以椭圆的标准方程是

（2）当M为短轴上的顶点时，b=3且椭圆的焦点在y轴上，则a=9，所以椭圆的标准方程是

所以椭圆的标准方程是或

注：求椭圆标准方程时特别要注意焦点的位置.

赢在起点

1.椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程是______，若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程是__________；若长半轴长为5，短半轴长为4，则椭圆的标准方程是____________________.

2.若椭圆经过M（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程是__________.

3.椭圆的长轴长为8，一个焦点坐标是（-3，0），则椭圆的标准方程是___________.

【题型3】椭圆标准方程的应用

例　已知点M（2，3）是椭圆内一定点，F为椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为多少？

解：如图所示，，当且仅当P、M、F2共线时，等号成立.

所以

=2a-

又a2=25，a=5；b2=16，b=4；

所以c2=9，c=3；

F2（3，0）；

故

所以的最小值为8.

赢在起点

1.若某椭圆的半焦距与短半轴相等，则该椭圆的长半轴a与短半轴b之间的数量关系是____________.

2.已知P是椭圆上的点，且满足∠F1PF2=（F1，F2为椭圆的焦点），则△F1PF2的面积是___________.

【题型4】直线与椭圆的关系

例　已知椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，长轴长为4，离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相交于A，B两点，求

（3）在椭圆上是否存在一点P，使得△PF1F2与△OAB的面积相等？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.

解：（1）由题知：2a=4，

所以a=2，c=

由c2=a2-b2得4-b2=3，解得b=1

椭圆的标准方程为

（2）由题意得，联立解方程组得

（3）存在，因为AB边上的高为原点到直线的距离，

所以

设P（xP，yP），则

故，解之得

代入椭圆方程得(www.xing528.com)

所以存在符合条件P点，它们分别为或或或

赢在起点

1.椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，长轴长为2，离心率为，则a=__________，b=__________，c=__________，椭圆的标准方程是____________________，直线的倾斜角是45°，且在y轴上的截距为1，则直线的方程是__________，直线与椭圆的交点A，B的坐标分别是____________________，A与B之间的距离是__________，原点O到直线的距离是________________，△OAB的面积是________________.

2.椭圆的两个焦点F1，F2在y轴上，长轴长为4，离心率为，则a=____，b=____，c=______，椭圆的标准方程是____________，经过原点且倾斜角是135°的直线，其方程是________，直线与椭圆的交点A，B的坐标分别是____________，A与B之间的距离是___________，焦点F1到直线的距离是___________，△F1AB的面积是___________.

一、填空题

1.椭圆是平面内到两定点的_________________________________________点的轨迹.

2.焦点在x轴上的椭圆标准方程是____________________；焦点在y轴上的椭圆标准方程是____________________.

3.椭圆中a，b，c的关系式是____________，它的离心率e=____________.

4.椭圆中，a=__________，b=__________，c=__________；椭圆中，a=__________，b=__________，c=__________.

5.椭圆的焦点坐标是____________________，离心率是________________.

6.椭圆的焦点坐标是________________，长轴长是__________，短轴长是__________.

7.椭圆的离心率是____________，长半轴长是____________，短半轴长是____________.

8.椭圆4x2+9y2=36的焦点坐标是________________，焦距是________________，顶点坐标是____________.

9.已知点M（x，y）是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则_____________________.　

10.椭圆上一点A，则△AF1F2的周长是____________________.

11.设椭圆过点（-2，），则m=_____________________.

12.a=13，焦点坐标为F1（-5，0），F2（5，0），则椭圆的标准方程是____________________.

13.短半轴长为5，焦点坐标为F1（0，3），F2（0，-3），则椭圆的标准方程是______________.

14.焦点在x轴上，长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程是____________.

15.椭圆上一点P到焦点F1的距离为2，则P到另一焦点F2的距离为____________________.

二、选择题

1.a=3，离心率为，焦点在x轴上，则椭圆标准方程为（　）.

2.已知椭圆的长轴长为12，一个焦点坐标是（-4，0），则椭圆的标准方程是（　）.

3.离心率为，焦距为6，且焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为（　）.

4.已知椭圆上一点到两焦点F1（0，2），F2（0，-2）的距离之和等于8，则椭圆的短轴长为（　）.

A.4　B.12　C.　D.2

5.下列椭圆中，离心率为的是（　）.

一、填空题

1.焦点坐标是F1（2，0），F2（-2，0），离心率为，则椭圆的标准方程是________________.

2.已知P是椭圆上的点，且满足∠F1PF2=（F1，F2为椭圆的焦点），则△F1PF2的面积为________________.

3.椭圆9x2+16y2=225与直线3x-y-6=0相交于两点，其坐标是________________.

4.椭圆8x2+y2=8的焦点坐标是________________.

5.半焦距与长半轴长的和为10，离心率为，则椭圆的标准方程是________________.

6.短轴长为6，离心率为，则椭圆的标准方程是_________________.

7.经过M（3，0），N（0，5）的椭圆的标准方程是________________.

8.焦点为F1（-3，0），F2（3，0），且经过点A（0，5），则椭圆的标准方程是________________.

9.已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且与x轴的负半轴交于点A，，则此椭圆的标准方程是________________.

10.过椭圆16x2+25y2=400的右焦点且平行于直线2x-y+4=0的直线方程为_________________.

二、选择题

1.椭圆2x2=4-y2中，下列说法正确的是（　）.

A.它的焦点在x轴上　B.长轴长是1

C.有一个顶点是（1，0）　D.离心率是

2.长轴是短轴的3倍，且经过点P（0，-3）的椭圆方程是（　）.

3.经过点P（-2，0）与点Q（0，）的椭圆标准方程是（　）.

4.长轴长为12，有一个焦点坐标为（-3，0）的椭圆标准方程为（　）.

5.当α∈（0，π）时，方程表示其焦点在x轴上的椭圆，下列说法正确的是（　）.

三、解答题

1.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率e是方程2x2-5x+2=0的一个根，求椭圆的标准方程.

2.已知椭圆的两个焦点分别为F1（-，0），F2（，0），过F1平行于y轴的直线l与椭圆交于A，B两点，且=4，求此椭圆的标准方程.

3.（2016年高考题）已知一椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长半轴长为2，且经过点

（1）求该椭圆的标准方程；（2）若直线y=x+m与该椭圆有交点，求m的取值范围.

4.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，

（1）求直线AB的方程；

（2）求△F2AB的周长；

（3）设弦AB的中点为M，求△MF1F2的面积S.

1.已知椭圆的焦点是F1（0，-1），F2（0，1），离心率，（1）求椭圆的方程；（2）又设点P在这个椭圆上，且，求∠F1PF2的余弦值.

2.已知椭圆的焦点为F1，F2，过左焦点F1的直线l的倾斜角为，且直线与椭圆交于A，B两点，（1）求直线l的方程；（2）求；（3）求△ABF2的面积是多少？

3.如下图所示，已知椭圆的焦点在x轴上，其焦距为6，离心率为

（1）求椭圆的标准方程.

（2）过焦点F1，F2，分别作x轴的垂线，与椭圆在第二、第四象限的交点分别为A、B，求四边形F1AF2B的周长.

（3）在椭圆上是否存在一点P，使得△PF1F2的面积与四边形F1AF2B的面积相等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.