中职数学升学考试教程：排列与组合的运算及性质

考点剖析：了解排列、组合的概念，理解分类和分步计数原理，会进行排列和组合的运算；理解组合的性质，会根据性质求值；会用两大计数原理、排列与组合知识处理简单计数问题.

1.计数原理

（1）分类计数原理（加法原理）：完成一件事件有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

注：在n类办法之间是互斥的、独立的.

（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1m2…mn种不同的方法.

注：n个步骤缺一不可，必须完成n个步骤才能完成一件事.

2.排列

（1）定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.当m=n时，称为全排列；当m＜n时，称为选排列.

（2）排列数：从n个不同元素中取出m个不同元素的所有排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.

（3）排列数公式：=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）

=n（n-1）（n-2）…2×1=n！

=注：约定0！=1.

注：排列数一定与选出m个元素的排列顺序有关，约定0！=1.

3.组合

（1）定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，不讲顺序并组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

（2）组合数：从n个不同元素中取出m个不同元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.

（3）组合数公式：

注：约定

（4）组合数的性质：

【锦囊妙计】组合问题与选出的m个元素的次序无关，只组不排.

【题型1】两个计数原理的应用

例　学校开设两门不同的数学课程和4门不同计算机课程，作为选修课.

问：（1）某学生从中任选一门的方法有多少种？

（2）某学生从中选修数学与计算机各一门的方法有多少种？

解：（1）根据分类计数原理，从中任选取一门的方法数是：2+4=6（种）.

（2）学生选修数学与计算机各一门，可分两步完成：

第一步：从两门数学课中选一门，第二步：从4门计算机课中任选一门，根据分步计数原理，学生从中选修数学与计算机各一门的方法数是：2×4=8（种）.

赢在起点

1.图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有________种不同的取法.

2.某人计划按“重庆→西安→北京”的路线旅游，从重庆到西安可乘坐汽车、火车、飞机3种交通工具，从西安到北京可乘坐汽车、火车、飞机、动车4种交通工具，则此人从重庆途经西安到北京旅游有________种不同乘坐交通工具的方法.

【题型2】计算排列与组合数

例1　（1）=________，=________，5！=________；

（2）=________，=________，+=________.

解：（1）=3×2=6，=4×3×2×1=24，5！=5×4×3×2×1=120.

（2）

赢在起点

1.=________，=________，3！=________，0！=________.

2.=________，C=________，C0________，C11C9=________.

【题型3】常见的排列、组合问题

例1　由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复的五位奇数？

分析：因为末位、首位有特殊，应该优先安排，避免不合要求的数字占了这两个位置.

解：末位共有，首位共有，最后三位共有.

根据分步原理得××=288.

【锦囊妙计】当遇到某个元素有特殊位置需求的排列问题时，通常是先处理特殊元素或特殊位置，这种方法称为优先处理特殊元素特殊位置法（即优选法）.

例2　7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法有多少种？

分析：第一步可先将甲、乙两个元素捆绑在一起，并把它看成是一个整体元素与其他元素进行排列，第二步再对这个整体元素内部进行排列.

解：由分步计数原理可得共有×=1440.

【锦囊妙计】当某些元素要求必须相邻时，第一步先将这些元素捆绑在一起，并把它看成是一个整体元素与其他元素排列，第二步再对这个整体元素内部进行排列，最后把所有的方法数相乘，这种方法称为“捆绑法”.

例3　7位同学站成一排，甲、乙两同学不能相邻的排法有多少种？

分析：先将其余5个同学排一列有种方法，5个同学留有6个空位，再从这6个空位中任选2个位置给甲、乙两同学有种方法.

解：由分步计数原理可得共有·=3600.

【锦囊妙计】当遇到某些元素要求不相邻的排列问题时，可以先对其他元素进行排列，再将这些不相邻元素插入前面元素的空档中进行排列，这种方法称为“插空插位法”.

赢在起点

1.（1）用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的3位数，其中偶数共有________个；（2）1个男生和4个女生站一排照相，男生必须站在正中间的站法有________种.

2.（1）2个男生和3个女生站成一排唱歌，其中2个男生相邻的站法有________种；

（2）5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻，不同排法共有________种.

3.（1）学校晚会节目单有3个舞蹈，2个相声，2个合唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目单的出场顺序有________种；

（2）2个男生和3个女生站成一排照相，其中2个男生不能相邻的站法共有________种.

【题型4】排列、组合混合问题

例1　现有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，并且每盒至少装一个球，共有多少不同的装法？

分析：首先从5个不同小球中，选2个选法共有种方法，然后再把它看成整体与剩下3球“构成”4个球装入不同的盒内共有种方法.

解：由分步计数原理可得共有·=240（种）

【锦囊妙计】在解决排列、组合混合问题时，最好是按先选后排的方法去做题.

赢在起点

1.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数是________种.

2.（2015年高考题）有4个不同的球和6个不同的盒子，现从中选出2个盒子，每个盒子放入2个球，则不同的放法有________种.

3.（2016年高考题）现将3名学生安排到4个实习基地实习，要求每个实习基地安排的学生不超过2个，则不同的安排方案有________种.

一、填空题

1.=__________，=__________，0！=__________，4！=__________.

2.=__________，=__________，=__________，=__________，=__________，

=__________，+=__________.

3.若=100，则x=__________.

4.一个口袋内有5个小球，另一个口袋内有4个小球，所有这些球的颜色互不相同.若从中任取一个球，则有不同的取法有__________种；每个口袋中任取一个球，不同的取法有__________种；若从中任取2个球，则不同的取法有__________种.

5.8位同学站成一排照相，有__________种站法.(www.xing528.com)

6.从10件产品中抽取3件产品，共有__________种抽法，若10件产品中有3件次品，保证抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法共有__________种，保证抽出的3件产品中至少有一件次品的抽法有__________种.

7.6个同学参加打球、唱歌、跳舞3项活动，每项2人，则不同的分组方法有__________种.

8.从4位医生和6位护士中选出1位医生和2位护士组成一个医疗小组，不同的组成方法共有__________种.

9.5位同学，每位之间互通一封信，共写了__________封信；每位互通一次电话，共通了__________次电话.

10.全国足球甲级（A组）联赛有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行__________场比赛.

二、选择题

1.从北京到天津，可以乘火车、汽车、飞机，假定一天中北京到天津的火车有12次，汽车有24次，飞机有6次，则一天中乘坐上述交通工具从北京到天津选择不同的方法有（　）种.

A.42　B.1728　C.96　D.158

2.甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，问从甲地经乙地到丙地，共有（　）种不同走法.

A.12　B.7　C.1　D.8

3.从9个学生中选出了3个人当班长、学习委员、团支书，则不同的选法有（　）种.

A.3　B.9　C.84　D.504 4.从10个学生中选出3名代表，共有选法（　）种.

A.　B.　C.3　D.3

5.=1是“x=5”的（　）.

A.充分条件　B.必要条件

C.充要条件　D.非充分且非必要条件

一、填空题

1.若5个同学排成一排，甲乙两人相邻的排法数有____________种.

2.若5人站成一排，甲必须站正中间的排法有____________种.

3.若5人站成一排，甲乙不能相邻而站，则站法有____________种.

4.若则x的值为____________.

5.从8件产品中任意抽取3件进行检查.如果这8件产品中有2件次品，则抽出的3件中恰有2件合格品的抽取方法有____________种.

6.为迎接北京奥运会，某学校组织班级单循环篮球比赛，全校共有6个班，每个班组织一支篮球队，每个队与其他各队比赛一场，则共需要比赛的场数是____________.

7.已知，则x=____________，y=____________.

8.由数字1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的3位数有____________个.

9.由数字1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的3位数，那么在这些3位数中，是偶数的共有____________个.

10.在100件产品中有5件次品，现任意选出3件，选出的3件中至少有一件次品，那么有____________种不同的选法.

二、选择题

1.参加世界杯足球赛决赛共有32支球队，分成8个小组，每个小组4支球队进行小组赛，小组赛的进行方式是：每个小组的每支球队之间都要进行一场比赛，那么小组赛阶段总共进行的比赛场数是（　）.

A.24　B.32　C.48　D.54

2.由数字1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的3位数，那么在这些3位数中，是奇数的共有（　）.

A.120个　B.48个　C.36个　D.24个

3.用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的3位数，那么在这些3位数中是5的倍数的共有（　）.

A.48个　B.36个　C.24个　D.12个

4.3个男同学和2个女同学站成一排唱歌，其中2个女同学相邻的站法有（　）.

A.12种　B.24种　C.48种　D.120种

5.2个男生和2个女生站成一排照相，其中2个男生不能相邻的站法共有（　）.

A.6种　B.12种　C.18种　D.24种

三、解答题

1.从0，1，2，3，4，5这6个数字中任选3个，组成没有重复数字的3位数，求这样的3位数中的奇数的个数？

2.某校有3个年级，每个年级有4个班，要求每班组织一支球队，进行年级内的小组赛（一个年级一个组），且一个年级内的球队，队队见面.则3个年级分别比赛完，共进行了多少场球赛？

3.某校文艺汇演，有5个舞蹈节目，4个唱歌节目，若唱歌节目不相邻有多少种不同的节目单？　

1.（1）5个学生，3个老师站成一排.①学生不站排头，也不站排尾的站法有多少种？②学生必须相邻而站，有多少种站法？

（2）5位男同学与2位女同学站成一排照相，女生相邻有多少种不同的站法，女生不相邻有多少种不同的站法？（不计姿势）

2.用0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且大于2100的4位数（用数字作答）.

3.重庆福利彩票之一“20选5”，即从1到20的数字中选出5个不同的号码作为中奖号码，你能计算出中奖号码（1注）与所有可能产生的号码（5个不同的数为一注）之比是多少吗？

自我评价

（满分100分，时间45分钟）　评价结果：__________

一、填空题（每题5分，共50分）

1.2和32的等差中项是________________.

2.2和32的等比中项是________________.

3.等差数列的前两项分别为25，20，则它的第5项是________________.

4.等比数列的前两项分别为16，8，则它的第4项是________________.

5.等差数列{an}中，a1=3，d=2，则S8=________________.

6.等比数列{an}中，a1=3，q=2，则a5=________________.

7.等差数列{an}中，a1+a9=20，则S9=________________.

8.等差数列{an}中，a3+a17=26，则a8+a12=________________.

9.等比数列{an}中，a2·a8=10，则a4·a6=________________.

10.-+3！=________________.

二、选择题（每题5分，共20分）

1.等差数列{an}中，a5=10，a7=34，则a1=（　）.

A.12　B.-12　C.-38　D.-50

2.等比数列{an}中，a3=10，a5=20，则q=（　）.

A.±　B.　C.-　D.5

3.等差数列{an}中，a5，a7分别是方程x2-2x-3=0的两根，则a2+a10=（　）.

A.-2　B.2　C.3　D.-3

4.某班有40名同学用同一个邮箱互通一次信，则这个班共有（　）封信投入这个邮箱.

A.40　B.80　C.1560　D.780

三、解答题（每题10分，共30分）

1.等差数列{an}中，a1=36，d=-3，则-27是它的第几项？

2.某座电影院内的座位每一排都比前一排多2个座位，已知第10排有28个座位，一共有30排，则这个电影院第1排有多少个座位？这个电影院最多能容纳多少观众？

3.小李去年向银行贷款12万元用于购车，每月还本金和利息，一年之内还清，贷款月利率为0.5%，今年他还清了贷款，请你帮他算一算，他一年内实际向银行支付了多少利息？