中职数学升学考试教程：三角函数定义

考点剖析：理解任意角的三角函数定义及其符号法则；掌握按定义确定三角函数值；熟记特殊角的三角函数值和同角三角函数的基本关系式；正确运用三角函数的符号法则解决有关问题，掌握同角三角函数基本关系式.

1.三角函数的定义：任意角α的终边上任取一点P（x，y），它到原点的距离为（r＞0），则有：正弦：，余弦：cos α=，正切：tan α=（x≠0），余切：cot α=（y≠0），正割：sec α=（x≠0），余割：csc α=（y≠0），其中

注：任意角的三角函数值与角的终边所处的位置有关，而与角终边上的点的位置无关.

2.三角函数的符号法则：

【锦囊妙计】sin α“横”为正；cos α“竖”为正；tan α“撇”为正.

3.特殊角的三角函数值：

4.同角的基本关系式：

（1）sin2α+cos2α=1，（2）tan α=

（3）cot α=（α≠kπ+π，k∈Z），

（4）互为倒数关系sin α·csc α=1⇔sin α=

cos α·sec α=1⇔cos α=

tan α·cot α=1⇔tan α=

【题型1】根据三角函数的定义求函数值

例1　若α的终边过点（，-1），则sin α值为（　）.

A.　B.　C.　D.

解：　B.

例2　=（　）.

A.-2　B.1　C.　D.--1

解：A.

赢在起点

1.若α的终边过点（3，-4），则sin α=________，cos α=________，tan α=________.

2.=__________，2 sin 45°cos 60°=__________.

【题型2】三角函数的符号法则应用

例　若sin α＞0，且cos α＜0，则α在第（　）象限

A.一　B.二　C.三　D.四

解：B

赢在起点

1.sin α＜0且cos α＞0，则角α是第________象限的角，若sin α＞0且cos α＜0，则角α是第________象限的角.

2.若sin α·tan α＜0，则角α是第____________象限的角.

【题型3】同角基本关系式应用

例1　已知：sin α=，且α在第三象限，求cos α、tan α的值.

解：因为sin2α+cos2α=1且α在第三象限.

所以cos α=

所以tan α=

例2　已知tan α=-3，且α是第四象限的角，求cos α.

解：因为　sin2α+cos2α=1

所以

由①得sin α=-3 cos α③

代③入②得：（-3 cos α）2+cos2α=1，所以10 cos2α=1

又因为α是四象限的角，

所以

例3　已知，且，求cos α-sin α.

解：因为

所以（cos α-sin α）2=cos2α-2 cos α sin α+sin2α

=1-2 sin α cos α=

又因为，所以cos α＜sin α，所以cos α-sin α=

【锦囊妙计】当时，cos α＞sin α.

当时，sin α＞cos α.

例4　已知tan α=3，求

解法1：因为所以则sin α=3 cos α

原式=

解法2：原式=

例5　求证

证明：左边=

==右边，所以原等式成立.

赢在起点

1.已知cos α=，且α在第四象限，则sin α=________，tan α=________.

2.已知sin α·cos α=，且0＜α＜，则sin α-cos α=____________.

3.已知tan α=-2，且α是第二象限的角，则cos α=________，sin α=________.

4.若tan α=-2，则=________.

5.若，则tan β=________.

一、填空题

1.（1）角α的终边过点P（2，-5），则sin α________0（填＜、＞或=）.

（2）sin__________0，cos 150°________0，tan________0，cos 90°________0（填＜、＞或=）；

（3）若α在第二象限，则sin α________0，且cos α________0（填＜、＞或=）.

2.角α的终边过点P（-5，4），则sin α________0.

3.已知角α终边上一点P（-12，5）则sin α=________，cos α=________，tan α=________.

4.若sin α＜0，且tan α＞0，则α是第________象限的角.

5.sin =________，cos =________，tan =________，sin=________，

tan =________，cos=________，cos =________，tan =________.

6.sin220°+cos220°=________，=________.

7.若tan α=2，则=________.

8.若sin α=，且α为第二象限的角，则cos α=________，tan α=________.(www.xing528.com)

二、选择题

1.已知sin α=，且α为第三象限的角，则cos α=（　）.

A.　B.　C.　D.

2.设α是第三象限的角，则下列各式的值一定为正值的是（　）.

A.sin α+cos α　B.tan α-sin α　C.cos α-tan α　D.tan α·sin α

3.4 cos 0°-sin 180°+6 cos 90°-2 sin 90°=（　）.

A.7　B.10　C.-3　D.2

4.已知角α的终边上有一点P（-3，4），则sin α+tan α=（　）.

A.　B.　C　D.

一、填空题

1.填＜、＞或=：sin 195°________0，cos（-200°）________0，tan____________0；若则sin α cos α________0.

2.sin29°+cos 60°+tan 45°+cos29°-sin 90°=________.

3.已知sin α=，且，则cos α=________.

4.已知tan α=-5，则=________.

二、选择题

1.若cos α tan α＞0，则α在第（　）象限.

A.一或二　B.二或四　C.三或四　D.一或三

2.若sin α-cos α=，则sin α cos α=（　）.

A.　B.　C.　D.

3.已知tan α=2，且，则sin α=（　）.

A.　B.　C.　D.

4.若角α终边上有一点P（-3，0），则下列函数值不正确的是（　）.

A.sin α=0　B.cos α=-1　C.tan α=0　D.sin α=-1

5.已知cos α=，且，则sin α的值为（　）.

A.　B.　C.　D.

三、解答题

1.已知cos α=，且，求sin α，tan α的值.

2.tan α=-4，且，求sin α，cos α的值.

3.已知，且，求cos α+sin β的值.

4.已知，求（1）sin α·cos α；（2）sin3α+cos3α.

5.证明sin4α+sin2α·cos2α+cos2α=1.

6.（1）化简，　（2）证明恒等式2-2 sin2α-cos 2α=1.

1.已知tan α·cos α＞0，且cos α·sin α＜0，则α是（　）.

A.第一象限角　B.第二象限角　C.第三象限角　D.第四象限角

2.已知，那么tan α的值为（　）.

A.-2　B.2 　C.　D.

3.已知sin α+cos α=，求的值.

自我评价

（满分100分，时间45分钟）　评价结果：__________

一、填空题（每题5分，共50分）

1.是第________象限的角.

2.与终边相同角的集合为____________________.

3.若M（-1，-）为角α的终边上的点，则cos α=________________.

4.已知，则tan α=________________.

5.=_________________.

6.若tan α=3，则=________________.

7.化简=________________.

8.sin250°+cos250°=________________.

9.若，α是第二象限的角，则sin α=________________.

10.若sin α cos α=，则（sin α+cos α）2=________________.

二、选择题（每题5分，共20分）

1.终边与-30°相同的角的集合是（　）.

A.{=k·360°+30°，k∈Z}　B.{=k·360°-30°，k∈Z}

C.{=k·180°-30°，k∈Z}　D.{=k·360°-30°}

2.若sin α＜0，cos α＞0，则α为第（　）象限的角.

A.一　B.二　C.三　D.四

3.“0°＜α＜90°”是“cos α＞0”的（　）条件.

A.充分不必要　B.必要不充分

C.充要　D.既不充分也不必要

4.下列说法正确的是（　）.

A.第二象限的角总比第一象限的角大

B.余弦函数值小于零的角一定是第二象限的角

C.任何三角函数值都大于零的角一定是第一象限的角

D.若0°＜α＜90°，则sin α＞cos α

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知角α的终边上有一点A（-8，6），求sin α、cos α、tan α的值.

2.证明（sin4α-cos4α+2 cos2α）tan α·cot α=1.

3.已知，求tan α+tan β的值.

三角函数的基本公式

考纲内容：诱导公式，两角和与差的正弦和余弦公式，二倍角公式.

考纲要求：掌握诱导公式，两角和与差的正弦和余弦公式，二倍角公式，并能用以上公式完成简单三角函数式的恒等变形.