数学升学考试：角的概念和度量

考点剖析：了解任意角的概念；理解弧度的定义；掌握角度与弧度的相互转换、终边相同的角的表示方法；掌握象限角的定义，会判断象限角.

1.角的概念：角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形.射线的端点叫做角的顶点，射线在旋转初始位置时，称它为角的始边，射线在旋转终止位置时，称它为角的终边.

2.角分为：正角、负角、零角.

（1）正角：按逆时针方向旋转而成的角；

（2）负角：按顺时针方向旋转而成的角；

（3）零角：当射线没有旋转时而成的角.

3.象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称为第几象限的角.

若α为第一象限的角，则k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z；

若α为第二象限的角，则k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z；

若α为第三象限的角，则k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z；

若α为第四象限的角，则k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z.

4.终边落在坐标轴上的角不属于任何象限

终边在x轴上的角：｛=k·180°，k∈Z｝或｛=kπ，k∈Z｝；

终边在y轴上的角：或

5.终边相同的角：两个角的始边重合，终边也重合时，称两个角为终边相同的角.

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：｛x x=k·360°+α，k∈Z｝（角α为度）或（角α为弧度）.　

6.弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，用“弧度”作单位来度量角的制度称为弧度制，用“度”作单位来度量角的制度称为角度制.

7.弧度与角度的换算：2π=360°，π=180°.

（1）1弧度=≈57°18′=57.30°，（2）1°=≈0.017 45弧度.

【题型1】角的定义

例1　下列说法正确的是（　）.

A.第一象限角必是锐角　B.第二象限的角一定比第一象限的角大

C.小于90°的角都是锐角　D.锐角必是第一象限的角

解：　D.

【锦囊妙计】角的概念推广后，注意辨别“第一象限的角”“锐角”及“小于90°的角”.

赢在起点

若M={锐角}，N={小于90°的角}，P={第一象限的角}，Q={小于90°的正角}，则下列等式成立的是（　）.

A.M=N　B.N=P　C.P=Q　D.M=Q

【题型2】终边相同的角

例1　终边与-90°相同的角表达正确的是（　）.

A.{=k·180°+90°，k∈Z}　B.{=k·360°-90°}

C.{=k·180°-90°，k∈Z}　D.{=k·360°-90°，k∈Z}

解：　D.

例2　终边与相同的角表达正确的是（　）.

A.　B.

C.　D.

解：　D.

赢在起点

与-700°终边相同的角的集合是__________________，它们是第________象限的角，其中最小的正角是____________.

【题型3】角度制与弧度制的互化、象限角

（1）角度与弧度互化：45°=________弧度，-150°=________弧度，=________度，π=________度.

（2）2000°是第________象限的角，-1024°是第________象限的角，π是第________象限的角，是第________象限的角.

解：（1），18，450.

（2）2000°=5×360°+200°，2000°与200°的终边相同，应在第三象限，

-1024°=-3×360°+56°，-1024°与56°的终边相同，应在第一象限，

与的终边相同，应在第一象限，

的终边相同，应在第三象限.

【锦囊妙计】在判断象限的角时，采用“负变正，大变小”的原则.

赢在起点

1.角度与弧度互化：60°=________弧度，-300°=________弧度，=________度.

2.是第________象限的角，-370°是第________象限的角，π是第________象限的角.(www.xing528.com)

一、填空题

1.与20°的终边相同的角表示为____________；与-130°的终边相同的角表示为________；与的终边相同的角表示为________________.

2.-2013°是________象限的角，1116°是________象限的角，π是________象限的角，是________象限的角.

3.角度化为弧度：150°=________，720°=________，30°=________，135°=________，-330°=________，-540°=________，1080°=________.

4.弧度化为角度：=____________，=________，=________，=________，π=________，2π=_______，=_______，-π=_______，π=________，π=_______，=_______.

5.若，那么α是第________象限角；若，那么α是第________象限角，若，那么是第________象限角，若，那么2α是第________象限角.

二、选择题

1.与330°终边相同的角是（　）.

A.60°　B.-30°　C.390°　D.-360°

2.已知角α的终边上有一点P（4，-3），则α为第（　）象限的角.

A.一　B.二　C.三　D.四

3.与60°终边相同的角的集合表达正确的是（　）.

A.　B.

C.　D.

4.-115°是第（　）象限的角.

A.一　B.二　C.三　D.四

5.终边在x轴上的角表示为（　）.

A.　B.

C.　D.

6.终边在y轴上的角表示为（　）.

A.　B.

C.　D.

一、填空题

1.与-1050°终边相同的最小正角是________________.

2.角α的终边经过A（-4，-3），则α为第________象限的角.

3.终边在x轴正半轴上的角表示为____________________；

终边在x轴负半轴上的角表示为_____________________.

4.是第________象限的角；是第________象限的角；

是第________象限的角；是第________象限的角；

是第________象限的角；是第________象限的角；

是第________象限的角；是第________象限的角；

是第________象限的角；是第________象限的角；

是第________象限的角；是第________象限的角.

5.在［-360°，720°］间，与45°终边相同的角共有________个，它们是____________.

二、选择题

1.若α，β的终边相同，则α-β的终边在（　）.

A.x轴的正半轴上　B.y轴的正半轴上

C.x轴的负半轴上　D.y轴的负半轴上

2.终边与相同的角的集合表示为（　）.

A.{　B.

C.　D.

3.如果，则2α的终边一定在第（　）象限.

A.一　B.二　C.三　D.四

1.若α是第三象限角，则是第（　）.

A.一或三象限角　B.二或三象限角

C.二或四象限角　D.一或四象限角

2.若α是第二象限角，则2α是第（　）.

A.一或三象限角　B.二或四象限角

C.三或四象限角　D.二或三象限角

3.已知A（4，3），A点关于y轴的对称点B刚好在角α的终边上，则角α应在第几象限？