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数学教程:学习平移的定义及变化规律

时间:2023-10-10 理论教育 版权反馈
【摘要】:考点剖析:了解平面内点平移、图像平移的变化规律,会用平移变化规律研究函数图像及性质;根据函数解析式明确图像的变化过程,熟练运用平移找出平移前(或后)函数的解析式.1.平移的定义:把平面内(或空间里)每个点按照同一个方向移动相同的距离,称为平面(或空间)的一个平移.2.变换(h>0,k>0)(1)点的对称:在平面直角坐标Oxy内任取一点P(a,b),它①关于x轴对称,得到点P′的坐标为(a,-b);

数学教程:学习平移的定义及变化规律

考点剖析:了解平面内点平移、图像平移的变化规律,会用平移变化规律研究函数图像及性质;根据函数解析式明确图像的变化过程,熟练运用平移找出平移前(或后)函数的解析式.

1.平移的定义:把平面内(或空间里)每个点按照同一个方向移动相同的距离,称为平面(或空间)的一个平移.

2.变换(h>0,k>0)

(1)点的对称:在平面直角坐标Oxy内任取一点P(a,b),它

①关于x轴对称,得到点P′的坐标为(a,-b);

②关于y轴对称,得到点P″的坐标为(-a,b);

③关于直线y=x对称,得到点P‴的坐标为(b,a);

④关于直线y=-x对称,得到点P″″的坐标为P(-b,-a).

(2)点的平移:在平面直角坐标Oxy内任取一点P(a,b),它

①向左平移h个单位,得到点P′(a-h,b);

②向右平移h个单位,得到点P″(a+h,b);

③向上平移k个单位,得到点P‴(a,b+k);

④向下平移k个单位,得到点P″″(a,b-k).

(3)图像的平移:在平面直角坐标Oxy内,若函数f(x)的图像是E,把图像

①向左平移h个单位,得到图像E′的函数解析式为f(x+h);

②向右平移h个单位,得到图像E″的函数解析式为f(x-h);

③向上平移k个单位,得到图像E‴的函数解析式为f(x)+k;

④向下平移k个单位,得到图像E″″的函数解析式为f(x)-k.

【锦囊妙计】点平移口诀:“左减右加,下减上加”,图像平移口诀:“左加右减,上加下减”.

【题型1】求对称点的坐标

例 在平面上建立一个直角坐标Oxy,点(2,3)关于x轴、y轴、直线y=x的对称点的坐标分别为____________、____________、____________.

解:(2,-3)、(-2,3)、(3,2).

赢在起点

在平面直角坐标Oxy内,点(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为________,关于y轴的对称点的坐标为____________,关于直线y=-x的对称点为____________.

【题型2】求平移前(后)函数的解析式

例1 在平面上建立一个直角坐标Oxy,在平面上任取一点P(a,b),则

(1)向左平移2个单位后,得到点P′的坐标为________________;

(2)向右平移2个单位后,得到点P″的坐标为________________;

(3)向上平移2个单位后,得到点P‴的坐标为________________;

(4)向下平移2个单位后,得到点P″″的坐标为_________________.

例2 在平面上建立一个直角坐标Oxy,向右平移3个单位,点P(2,1)、Q(-1,5)、M(0,-4)的像P′,Q′,M′的坐标分别是多少?

解:1.(1)(a-2,b),(2)(a+2,b),(3)(a,b+2),(4)P(a,b-2).

2.P′(5,1),Q′(2,5),M′(3,-4).

例3 函数的图像E向左平移1个单位后的像是E′,再向下平移3个单位后得图像E″,如图所示,请分别写出E′,E″所表示的函数解析式.

解:如图所示,函数向左平移1个单位后得到y=,再向下平移3个单位后得到

赢在起点

1.在平面上建立一个直角坐标Oxy,点(2,3)经过向________平移________个单位得到点(-1,3),再经过向________平移________个单位得到点(-1,5).

2.函数y=2x向右平移3个单位后得到函数____________,再向上平移2个单位后得到函数____________.

3.函数y=2(x+2)2-3是由函数y=2x2经过怎样变化得到的?

4.请画出函数的大致图像.

一、填空题

1.在平面上建立一个直角坐标系Oxy,向右平移2个单位,则

(1)点(-3,1)平移后的坐标是__________;

(2)点(3,1)平移后的坐标是__________;

(3)点(-3,-1)平移后的坐标是__________;

(4)点(3,-1)平移后的坐标是__________.

2.在平面上建立一个直角坐标系Oxy,点(-2,3)关于x轴的对称点的坐标为____________,点(1,-4)关于y轴的对称点的坐标为____________,点(m,n)关于直线y=x的对称点的坐标为____________.

3.函数的图像向______平移______个单位,再向______平移______个单位得到函数的图像.

4.函数y=x2的图像向______平移______个单位得到函数y=(x+2)2的图像,再向______平移______个单位得到函数y=(x+2)2-3的图像.

5.函数y=2x2+3的图像向______平移______个单位得到函数y=2(x+1)2+3的图像.

6.函数y=ax-1+2的图像是由函数y=ax的图像上所有的点经过怎样的变化得到的图像?________________________________.

7.函数y=2 sin x的图像经过向左平移个单位,再向上平移2个单位后得到的函数图像的解析式为____________.

二、选择题

1.点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为( ).

A.(a,b) B.(-a,b) C.(a,-b) D.(-a,-b)

2.将点(3,-2)先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点( ).

A.(5,1) B.(1,1) C.(5,-5) D.(1,5)

3.函数y=2x的图像先向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到函数的解析式为( ).

A.y=2x-2-1 B.y=2x-2+1 C.y=2x+2-1 D.y=2x+2+1

4.为了得到函数y=log2(x+1)-2的图像,只需要把函数y=log2x的图像上所有的点( ).

A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位

B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位

C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位

D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位(www.xing528.com)

5.若关于x的函数y=ax+b的图像如右图所示,则( ).

A.0<a<1,b<0 B.0<a<1,b>0

C.a>1,b<0 D.a>1,b>0

一、填空题

1.点(3,-2)关于直线y=x的对称点的坐标为____________.

2.函数y=2x2的图像经过先向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的图像的解析式为_________________.

3.函数y=3x2-6x+2的图像是由函数y=3x2的图像经过先向______平移______个单位,再向______平移______个单位得到的.

4.函数y=log3(-2x)的图像经过向左平移3个单位,再向上平移2个单位得到的图像的解析式为______________.

5.函数y=3 cos 2x的图像向右平移个单位后得到的图像的解析式为____________.

二、选择题

1.点(m,n)关于直线x=1的对称点是( ).

A.(2-m,n) B.(m+1,n) C.(m,2-n) D.(m,n-1)

2.为了得到函数的图像,只需把函数的图像( ).

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

3.若关于x的函数y=ax-b的图像如右图所示,则( ).

A.0<a<1,b<0 B.0<a<1,b>0

C.a>1,b<0 D.a>1,b>0

4.若关于x的函数的图像如右图所示,则函数的解析式为( ).

A.y= B.y=

C.y= D.y=

三、解答题

1.已知函数的图像是由函数y=3 sin 2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图像,求φ的值.

2.求函数y=log3(2x2+x)的图像向右平移个单位后得到的函数图像的解析式.

1.求函数的图像是由函数y=sin 2x的图像经过怎样的变化得到的.

2.为了得到函数的图像,只需将函数y=sin 2x的图像( ).

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

自我评价

(满分100分,时间45分钟) 评价结果:__________

一、填空题(每题5分,共50分)

1.log 28=________________.

2.=_________________.

3.已知2 log6x=1-log63,则x的值是________________.

4.若f(x)=log3(x-1),且f(a)=2,则a=________________.

5.指数函数必过定点________________,对数函数必过定点________________.

6.函数f(x)=lg(2-x2)的定义域是________________.

7.若loga2>loga1,那么a的取值范围是________________.

8.如果函数f(x)=(a-1)x在R上是减函数,那么实数a的取值范围是____________.

9.函数的定义域是____________.

10.已知幂函数过点(2,),则函数的解析式为____________.

二、选择题(每题5分,共25分)

1.下列4个式子(其中a>0且a≠1,M>0,N>0)中正确的有( ).

(1)logaM+logaN=loga(MN) (2)logaM-logaN=

(3)loga(M-N)= (4)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.已知x-3=8,那么x等于( ).

A.2 B.-2 C.±2 D.

3.60.7,0.76,log0.76的大小顺序是( ).

A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76

C.log0.76<0.76<60.7 D.log0.76<60.7<0.76

4.若,则m,n的关系正确的是( ).

A.m = B.m=n C.m>n D.m<n

5.若关于x的函数y=ax+b的图像如右图所示,则( ).

A.0<a<1,b<0 B.0<a<1,b>0

C.a>1,b<0 D.a>1,b>0

三、解答题(每题10分,共30分)

1.指数函数f(x)=ax的图像过点,求f(0),f(1),f(-2).

2.解对数方程log2(x2-5x-2)=2.

3.已知函数f(x)=log0.2(2x2+3x+1),

(1)求这个函数的定义域;

(2)当x取何值时,f(x)≥0?

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