中职数学升学考试教程-幂指对数函数章节

考点分析：了解指数函数、对数函数和幂函数的概念、图像和性质；会比较大小和根据指数函数、对数函数和幂函数的性质解与指数和对数有关的不等式或方程.

知识小结

1.定义：形如y=xa（a≠0）的函数称为幂函数；

形如y=ax（a＞0且a≠1）的函数称为指数函数；

形如y=logax（a＞0且a≠1）的函数称为对数函数.

2.幂函数、指数函数和对数函数的图像与性质如下表所示：

注：当a=1时，函数y=x既是正比例函数又是幂函数，它的图像是一、三象限的角平分线.

3.应用其单调性比较大小或会解答相应的不等式.

【题型1】　辨别函数的图像

例　在同一坐标系中，当a＞1时，函数y=logax和y=a-x的大致图像是（　）.

A.

B.

C.

D.

解：A.

赢在起点

思考下列图像是哪些函数的大致图像？

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

赢在起点

从上图中选择图像的编号填在下方.

（1）函数y=0.4x的大致图像是__________；（2）函数y=log7x的大致图像是__________；（3）函数的大致图像是__________；（4）函数y=8x的大致图像是__________；（5）函数y=log0.2 x的大致图像是__________；函数y=x4的大致图像是_______；函数y=x5的大致图像是________；函数的大致图像是________.

【题型2】　比较大小

例　比较下列两个数的大小.

3-1______________；0.31.5______________0.21.5；3-1_______________32；__________；

log23________log25；_______________________log5；log23________log43；

________log23.

解：＜，＞，＜，＜，＜，＞，＞，＞，＜.

赢在起点

1.比较下列两个数的大小

1.2-0.3______________1.3-0.3；57______________52；__________；4-3______________；log43________log45；________；log254________log5；log23________log32；________1.

2.已知，则a的取值范围是（　）.

A.（0，1）　B.（-∞，0）　C.（1，+∞）　D.（1，2）

3.30.5，0.53，log30.5的大小顺序是（　）.

A.log30.5＜0.53＜30.5　B.30.5＜0.53＜log30.5

C.log30.5＜30.5＜0.53　D.0.53＜30.5＜log30.5

【题型3】求函数的定义域

例　求下列函数的定义域.

（1）y=（2）y=x-3，

（3）y=log2（x-1），（4）y=，

（5）y=，（6）y=（x2+2x-2）.

解：（1）要使函数有意义，必须满足x∈R，所以原函数的定义域为R；

（2）要使函数有意义，必须满足x≠0，所以原函数的定义域为；

（3）要使函数有意义，必须满足x-1＞0⇔x＞1，所以原函数的定义域为；

（4）要使函数有意义，必须满足3x-9≥0⇔3x≥9⇔x≥2，所以原函数的定义域为［2，+∞）；

（5）要使函数有意义，必须满足log3（2x+3）≥0⇔2x+3≥1⇔x≥-1，所以原函数的定义域为［-1，+∞）；

（6）要使函数有意义，必须满足

⇔x2+2x-2≤1

⇔x2+2x-3≤0

⇔（x+3）（x-1）≤0

⇔-3≤x≤1

所以原函数的定义域为［-3，1］.

赢在起点

求下列函数的定义域.

（1）y=lg（-x2+4x-3），　（2），　（3）y=

【题型4】解方程

例　解方程.

（1）2x（x-1）=64，　（2）lg（x2-4x）=lg（x+14），　（3）4x-3·2x+2=0.

解：（1）由得　x2-x=6　即x2-x-6=0

所以　x1=3，x2=-2为原方程的解.

（2）由x2-4x=x+14，即x2-5x-14=0

解得　x=7或x=-2

经检验，x=7或x=-2都是原方程的根，

所以原方程的解为x=7或x=-2.

（3）由（2x）2-3·2x+2=0

令2x=t，则原方程变形为：t2-3t+2=0

解得　t=1或t=2

即　2x=1或2x=2

所以　x=0或x=1

故原方程的解为x=0或x=1.

赢在起点

1.解方程.

（1）=9，（2）log5（x2-9x+3）=2，

（3）lg2x-lgx3+2=0，（4）lg x+lg（x-2）=lg 3.

2.已知lg 2=a，lg 3=b，则lg 72=________.

【题型5】解不等式

例1　解下列不等式

（1）3x-2≥25，（2）

（3）log4（-x2-3x）≤log42，（4）log0.1x+log0.1（x-5）≤log0.16.

解：（1）3x-2≥25

3x≥27

x≥3

所以原不等式的解集为［3，+∞）.

（2）

x2+x≤2(www.xing528.com)

x2+x-2≤0

（x+2）（x-1）≤0

-2≤x≤1

所以原不等式的解集为［-2，1］.

（3）log4（-x2-3x）≤log42

0＜-x2-3x≤2

-3＜x≤-2或-1≤x＜0

所以原不等式的解集为

（-3，-2］∪［-1，0）.

（4）log0.1x+log0.1（x-5）≤log0.16

⇔x≥6

所以原不等式的解集为［6，+∞）.

赢在起点　

1.若1＜2x≤4，则x的取值范围是____________；若1＜0.5x≤4，则x的取值范围是____________；若0＜log3x≤1，则x的取值范围是____________；若0＜log0.5x≤2，则x的取值范围是____________.

2.求解不等式：

（1），　（2）1-log5（2x+6）≥2，　（3）log0.1（x2-3x）-1＞3.

【题型6】函数的简单实际应用

例　已知函数f（x）=log3（x2-2x），（1）求函数f（x）的定义域；（2）当x为何值时，f（x）≤1？

解：（1）要使函数f（x）有意义，必须满足

x2-2x＞0⇔x（x-2）＞0⇔x＜0或x＞2，

所以函数f（x）的定义域为｛x x＜0或x＞2｝.

（2）由f（x）≤1得log3（x2-2x）≤1

log3（x2-2x）≤log33

x2-2x≤3

（x+1）（x-3）≤0解得

又因为或x＞2｝

所以当x取值范围为或2＜x≤3｝时，f（x）≤1.

赢在起点

已知f（x）=ax-1（a＞0且a≠1）的图像过点P（1，1），（1）求f（0）；（2）当x取何值时f（x）=31；（3）若f（x）≥7，求x的取值范围.

一、填空题

1.函数的定义域是____________；

函数的定义域是____________；

函数f（x）=lg（x-5）的定义域是____________；

函数f（x）=log2（x2-x-2）的定义域是____________.

2.比较大小

（1）log25.3________log26.3，（2）log0.51.5________log0.51.7，

（3）log30.4________log30.5，（4）log0.32.1________log0.31.2，

（5）log20.2________0，（6）log22.1________1，

（7）____________，（8）21.2______________21.1，

（9）____________0，（10）0.2π____________1，

（11）0.760.12______________0.760.11，（12）5.1-2.1______________5.1-2.2，

（13）log23________log25，（14）log0.10.2________log0.10.3，

（15）____________0，（16）20.1______________1.

二、选择题

1.若函数f（x）=a（x-2）+3（a＞0且a≠1），则函数一定过点（　）.

A.无法确定　B.（0，3）　C.（1，3）　D.（2，4）

2.则M∩N为（　）.

A.∅　B.　C.　D.

3.函数y=logax的图像如右图所示，则实数a的可能取值是（　）.

A.10　B.e

C. 　D.2

4.若y=（2a-1）x是减函数，则a的取值范围是（　）.

A.a＜　B.＜a＜1

C.a＞1　D.a≥1

5.若函数y=logax在区间（0，+∞）是增函数，则a取值范围是（　）.

A.a＞1　B.a＞0　C.1＜a＜2　D.0＜a＜1

一、填空题

1.已知1≤log2x＜2，则x的取值范围是________________.

2.方程log3（2x-1）=1的解为x=________________.

3.已知log2x＜0，则x的取值范围是________________.

4.已知log0.5x＞1，则x的取值范围是_________________.

5.f（x）=（a2-3）x是增函数，则实数a的取值范围是________________.

6.幂函数y=（m+2）xm，则m=________________.

7.已知函数，若f（x）为奇函数，则a=____________.

8.函数的定义域是________________.

9.函数的定义域是________________.

二、选择题

1.下列对数中是正数的是（　）.

A.log0.23　B.log20.3　C.log0.20.3　D.

2.函数的定义域是（　）.

A.（3，+∞）　B.［3，+∞）　C.（2，+∞）　D.［2，+∞）

3.设loga＜1（0＜a＜1），则a的取值范围是（　）.

A.　B.（0，1）　C.　D.

4.如果a0.5＞a0.75，b-0.5＜b0.5，则a，b的取值范围是（　）.

A.0＜a＜1，0＜b＜1　B.0＜a＜1，b＞1

C.a＞1，0＜b＜1　D.a＞1，b＞1

5.下列不等式成立的是（　）.

A.log32＜log23＜log25　B.log32＜log25＜log23

C.log23＜log32＜log25　D.log23＜log25＜log32

三、解答题

1.已知函数f（x）=ax-2（a＞0且a≠1）的图像经过点P（1，1），（1）求f（0）；（2）当x取何值时，f（x）=25？

2.已知函数f（x）=log2（x2-x），（1）求函数f（x）的定义域；（2）求当x为何值时，f（x）=1.

3.已知，求x的取值范围.

1.函数（a＞0且a≠1）是（　）.

A.奇函数　B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数　D.非奇非偶

2.解方程lg x+lg（x-3）=1.

3.求函数的定义域.

4.函数f（x）的定义域是［-1，2］，求函数f（log2x）的定义域.