集合概念与表示法及关系中职数学升学考试教程

考点剖析：了解集合的有关概念，理解集合中元素的特性；掌握元素与集合的关系、空集的概念；理解常见的数集及其表示，理解子集、真子集、补集的概念，掌握集合与集合的关系.

1.集合的概念

（1）集合：把一定范围内确定对象的全体称为集合，简称集，一般用大写英文字母A，B，C，…表示.

（2）元素：集合中的每个对象称为这个集合的元素，一般用小写英文字母a，b，c，…表示.元素的重要特性：确定性，互异性，无序性.

2.集合的表示方法

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，写在大括号里，如｛0，1，2｝.

（2）描述法：，其中p（x）表示元素x具有的条件或属性，如.

3.常见的集合

（1）自然数集：由所有非负整数组成的集合，记作N，N=｛0，1，2，3，…｝.

（2）正整数集：由全体非零自然数组成的集合，记作N*或Z+，N*=｛1，2，3，…｝.

（3）整数集：由全体整数组成的集合，记作Z，Z=｛…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…｝.

（4）有理数集：由全体有理数组成的集合，记作Q.

（5）实数集：由全体实数组成的集合，记作R.

（6）偶数集：由所有偶数组成的集合，表示为.

（7）奇数集：由所有奇数组成的集合，表示为.

（8）无限集：含有无穷个元素的集合，上述集合都是无限集.

（9）有限集：含有有限个元素的集合，如16通信技术高考班的46个同学组成的集合.

（10）空集：把不含任何元素的集合称为空集，记作∅，空集中的元素为0个.注意：0∈｛0｝，0∉∅.

4.元素与集合的关系

（1）属于关系：若元素a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”，如0∈｛0｝.

（2）不属于关系：若元素a不是集合A的元素，记作a∉A，读作“a不属于A”，如0∉｛1｝.

5.集合与集合的关系

（1）子集：对两个集合A，B，如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）.

（2）真子集：若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”），A中元素个数少于B中元素个数.

（3）集合相等：若集合A与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A=　B.

注：集合A既不是集合B的子集且集合B也不是集合A的子集.记作A⊄B，或B⊄A，读作“A不包含于B”（或“B不包含于A”）.

6.空集与任意集合的关系

（1）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

（2）任何集合都是它本身的子集.

【题型1】集合的表示法

例　已知集合A=｛不大于6的自然数｝，用描述法表示A=____________，用列举法表示A=____________；大于3小于11的整数构成的集合B，用描述法表示B=____________；用列举法表示B=____________.

解：｛xx≤6，且x∈N｝，｛0，1，2，3，4，5，6｝，｛x3＜x＜8，x∈Z｝，｛4，5，6，7｝.

赢在起点

1.设大于10小于20的所有整数组成的集合，用列举法表示是____________，用描述法 表示是____________________.

2.大于-3且小于7的整数组成的集合，用列举法表示是____________，用描述法表示 是____________.

【题型2】符号的正确应用

例　（1）设集合，则下列关系中正确的是（　）.

A.x⊂A　B.x∉A　C.｛x｝∈A　D.｛x｝⊂A

（2）集合，则下列关系正确的是（　）.

A.A=B　B.B∈A　C.B⊂A　D.B⊃A

解：（1）D，（2）　C.

赢在起点

1.用符号∈、∉、、、=、⊄填入以下空格.

1________R；1________｛0｝；0________N；_______N；a________｛a，c｝；｛b｝________｛a，b，c｝；0________∅；∅________｛0｝；｛a，c｝________∅；（1，2）________｛（1，2）｝；｛1，2｝________｛（1，2）｝.

2.若A=｛长方形｝，B=｛平行四边形｝，则A与B的关系是____________.

3.若A=Z，B=N，则A与B的关系是____________.

【题型3】求集合的子集与真子集

例1　求集合｛a，b｝的子集和真子集.

解：集合｛a，b｝的子集有：∅，｛a｝，｛b｝，｛a，b｝；真子集有：∅、｛a｝、｛b｝.

例2　若集合｛0，2，4｝⊆A⊆｛0，1，2，3，4｝，求满足该条件的集合A.

解：A=｛0，2，4｝或｛0，2，4，3｝或｛0，2，4，1｝或｛0，1，2，3，4｝.

【锦囊妙计】若集合A中有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n-1个.

特别提醒：求某集合的子集和真子集时，注意考虑空集和集合本身.

赢在起点

1.集合｛1，2，3｝的子集有____________________，真子集有________________.

2.若集合｛1｝⊆A⊂｛1，2，3｝，则满足该条件的集合A有____________.

【题型4】元素、集合定义的应用

例1　设集合A=｛x，y｝，B=｛0，x2｝若A=B，求实数x，y.

解：因为A=B，则x=0或y=0.(www.xing528.com)

（1）当x=0时，则y=x2=0，所以B=｛0，0｝，不符合题意，故舍去.

（2）当y=0时，则x=x2，解得x=0或x=1，由（1）知x=0应舍去，而x=1符合题意.

综上得x=1，y=0.

例2　（2016年高考题）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛0，1，2｝，则A∪B中的元素个数为（　）.

A.2　B.3　C.4　D.5

解：　C.

【锦囊妙计】集合相等的问题通常是利用集合中元素的确定性和互异性建立方程（组）求解，然后检验取解.

赢在起点

1.集合A=｛x -2＜x≤3，x∈N｝，则下列哪个集合与它相同？（　）

A.｛-2，-1，0，1，2，3｝　B.｛1，2，3｝

C.｛0，1，2，3｝　D.｛1，2，3，4｝

2.已知集合A=｛m+2，2m2+m｝，若3∈A，则m的值是____________.

3.集合A=｛x，y｝的非空真子集有____________.

一、填空题

1.用符号∈、∉、、、=、⊄填入以下空格.

（1）0________｛0｝；（2）0________N；（3）a________｛b，c｝；（4）____________∅；

（5）0________∅；（6）｛a｝________｛a，b，c｝；（7）∅________｛0｝；（8）｛1，2｝________∅；

（9）｛1，2，3，4｝________｛4，3，1，2｝；（10）｛1，2｝________｛（1，2）｝；（11）-1________N；

（12）____________R；（13）a________∅；（14）｛-1，0，1｝________｛0，1｝；

（15）（1，2）________｛（1，2），（-1，-2）｝；（16）｛0｝________｛-2，0，2｝；（17）5________Z；

（18）｛1，3｝________｛3，1｝；（19）｛b，a，c｝________｛b，c，e，f｝；（20）∅________｛0，1，2｝.

2.小于2的实数集可用描述法表示为________________.

3.平方等于16的实数可用列举法表示为________________.

4.大于-2而小于4的整数集用列举法表示为____________________，用描述法表示为________________.

5.用另一种方法表示下列集合：

（1）｛xx2=9｝=________________；（2）｛0，1，2，3，4，5，6，7｝=________________.

6.集合｛1，2｝的子集有________________，其中真子集有________________.

二、选择题

1.下列关系错误的是（　）.

A.∅{0}　B.0∈{0}　C.0∈∅　D.0∉∅

2.下列说法正确的是（　）.

A.不胖不瘦的人能组成集合

B.空集是任何集合的真子集

C.由单词good的字母构成的集合是｛g，o，o，d｝

D.所有等腰三角形能组成集合

3.下列能组成集合的有（　）.

（1）高三年级高个子男生　（2）重庆已开通的5条轻轨线路

（3）2016年亚冠足球比赛的所有参赛球队　（4）大于0的实数

A.4个　B.3个　C.2个　D.1个

一、填空题

1.用符号∈，∉，，，⊄填入空格.

1________｛1｝，0________∅，∅________｛0｝，（0，1）________｛（0，1）｝，N________∅，Q________N，Z________R.

2.集合｛a，b，c｝的子集有________个，真子集有________个.

3.集合=____________________.

4.=________________________________.

二、选择题

1.下列各组集合中相等的是（　）.

A.｛xx2=-1｝与∅　B.｛1，4｝与｛（1，4）｝

C.｛（1，5）｝与｛（5，1）｝　D.｛x 1＜x＜6｝与｛2，3，4，5｝

2.下列集合中，M=N的是（　）.

A.M=｛（2，1）｝，N=｛（1，2）｝　B.M=｛1，2｝，N=｛2，1｝

C.M=｛0｝，N=∅　D.M=｛（1，2）｝，N=｛1，2｝

3.下列表述正确的是（　）.

A.0∈∅　B.∅∉｛0｝　C.∅=0　D.∅⊆｛0｝

1.设集合A=｛2，3，a2+2a-3｝，B=｛a+3，2｝，已知5∈A，且5∉B，求a的值.

2.已知集合A=｛-1，3，2m-1｝，集合B=｛3，m2｝，且B⊆A，求m的值.

3.集合A=｛xb＜x＜a｝，集合B=｛x‖x-3＜5｝，若集合A与集合B相等，求a，b的值.