观测值的改正数：测量基础与实训

算术平均值与观测值之差称为观测值的改正数v：

如果将式（6-2）中的最或然值也看成算术平均值，则与式（6-47）比较可以发现，最或然误差与改正数大小相等，符号相反。

改正数具有两个著名的数学特性：［v］=0，［vv］=最小。

1.［v］=0

将式（6-47）中的n个方程式求和，得

再根据式（6-46），得到

这表明，一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于0。这一特征可以作为计算中的校核，以检查误差分配的正确完整性。这里须强调指出：如果改正数的和不等于0，则必须强制性地对某些改正数进行微小调整，使［v］=0。

2.［vv］=最小(www.xing528.com)

先模仿式（6-47）再列出一个方程：vi′=¯x′-li。这里¯x′为不等于算术平均值¯x的任意常数。现在比较［vv］与［v′v′］的大小。

将上式与式（6-47）相减，得

为书写简便，令¯x′-¯x=ε，则上式为

对该式取平方并求和，有

因［v］=0，故上式变化为

式中三项均为正数，故［vv］＜［v′v′］。

由于前面已假定¯x′为任意的常数值，现在又推算出根据任意常数¯x′计算的［v′v′］，都有［vv］＜［v′v′］。故可认为式（6-49）即为改正数的平方和最小。它有两层含义：一是根据等精度观测值求出的最或然值（算术平均值），其改正数必然满足［vv］=最小；二是在满足［vv］=最小的前提下，根据观测值改正后求出的数值一定是最或然值。这两个要点构成了整个测量平差的理论基础，并称之为最小二乘法原理。