单个正态总体参数的假设检验

1.已知σ2时，关于μ的检验

设X1，X2，…，Xn是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本，其中σ2是已知常数，欲检验假设

H0：μ＝μ0.

可选择统计量，当H0成立时，U～N（0，1）.给定显著性水平α，查标准正态分布表求出，使

得检验的拒绝域为

即

由样本观察值算出统计值u，如果则拒绝原假设H0，否则就接受假设H0.

例1　某冶炼厂高炉的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N（4.55，0.1082），今测得5炉铁水含碳量分别为4.475，4.561，4.509，4.496，4.557，问：如果方差不变，现在生产是否正常（α＝0.05）？

解　依题设，假设

H0：μ＝4.55，

利用统计量做检验.当H0成立时，U～N（0，1）.由样本可算得＝4.52，代入统计量得

又由α＝0.05，查标准正态分布表，得因为|u|＝|－0.621|＜1.96，即u落在接受域内，所以接受H0，即可以认为现在的生产是正常的.

2.σ2未知时，关于μ的检验

例2　某食品厂用自动装罐机装水果罐头，每罐标准重量为500克.为了保证质量，每隔一定时间需要检查机器工作情况.这天抽得10罐，测得其重量如下（单位：克）

495，510，505，498，503，492，502，512，497，506.

假定产品重量服从正态分布，试问这天机器工作是否正常（α＝0.05）？

解　依题意，待检验假设为H0：μ＝500.

由于总体方差σ2未知，故可用样本方差S 2来代替σ2，选择统计量(www.xing528.com)

因为H0为真时，T～t（n－1）.于是

对给定的α＝0.05，查t分布表，得t0.025（9）＝2.2622.因为

|t|＝0.9733＜2.2622＝t0.025(9)，

所以接受H0，即认为该天机器工作正常.

3.μ未知时，关于σ2的检验

设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，欲检验假设

H0：σ2＝，备择假设H1：σ2≠.

由于当H0为真时，

故可取作为检验统计量.由

得拒绝域为

例3　某冶炼厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布.现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量数据如下：

4.421，4.052，4.357，4.287，4.683.

据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082（α＝0.05）？

解　依题意，待检假设为H0：σ2＝0.1082.选取为检验统计量.在H0成立时，

对于给定的α＝0.05，查表得具体计算统计量χ2的值

因而应拒绝H0，即认为方差不能认为是0.1082.