正态总体样本均值与样本方差分布成果

设总体X的均值为μ，方差为σ2，X1，X2，…，Xn是来自X的一个样本，，S 2是样本均值和样本方差，则总有

而

即E（S 2）＝σ2.

下面介绍正态总体的抽样分布定理.

定理1　设X1，X2，…，Xn是来自总体N（μ，σ2）的样本，则

(1)

(2)

（3）与S 2相互独立；

(4)

(5)

定理2　设X1，X2，…，Xn1和Y1，Y2，…，Yn2分别是来自N（μ1，）和N（μ2，）的样本，且这两个样本相互独立，则

(1)

(2)

（3）当＝＝σ2时，

(4)

其中，和分别是X1，X2，…，的样本均值和样本方差；Y与分别是Y1，Y2，…，的样本均值和样本方差，且

例1　设总体X～N（μ，16），其中μ未知.X1，X2，…，X9是来自总体的样本.

（1）求概率P（|－μ|≤3）；

（2）记Y＝，求概率P（Y≤248）.

解　（1）已知σ＝4，，则定理1（1）知(www.xing528.com)

从而

（2）由定理1（2）得

于是

查χ2分布表知＝15.5.故得

P(Y≤248)＝1－0.05＝0.95.

例2　设总体X与Y独立，且都服从N（0，16），X1，X2，…，X16；Y1，Y2，…，Y16分别是来自X和Y的样本.

（1）问统计量服从什么分布？

（2）计算概率P（|W|≤0.69）.

解　（1）由定理1（1）知

又～N（0，1），i＝1，2，…，16，且相互独立，于是

由于总体X和Y相互独立，故U与V独立，从而

（2）P（|W|≤0.69）＝1－2P（W＞0.69），查t分布表知t0.25（16）＝0.69，故

P(|W|≤0.69)＝1－2×0.25＝0.5.

例3　设两相互独立的总体X～N（μ1，100），Y～N（μ2，64），其中μ1，μ2未知.X1，X2，…，X21；Y1，Y2，…，Y16是分别来自X及Y的样本，求两样本方差之比落入区间[0.71，3]之间的概率.

解　由定理2（2）知，样本方差之比服从F分布.由题设知σ21＝100，σ22＝64，n1＝21，n2＝16.令

于是

因此

这里F～F（20，15），～F（15，20），查F分布表得F0.1（20，15）＝1.92，F0.05（15，20）＝2.2.所以