《概率论与数理统计》中总体分布的近似求解

在这里，我们介绍两种关于总体分布的近似求法：经验分布函数与直方图.

1.经验分布函数

若总体为X，求分布函数F（x）.

设x1，x2，…，xn为总体的一组样本观察值，将它们按由小到大的顺序排列，得到

定义4　令

则称Fn（x）为经验分布函数.

当样本X1，X2，…，Xn取定一组观察值后，Fn（x）就确定了.它可视为一个概率分布为

P(X＝xk)＝，k＝1，2，…，n，

的离散型随机变量X的分布函数.

Fn（x）的图形是跳跃式上升的一条阶梯形曲线.若观察值不重复，则每一跃度为；若有重复（相同）时，跃度为的倍数.

其次，经验分布函数Fn（x）的值依赖于样本观察值.所以是样本的函数.又因为它不含未知参数，所以Fn（x）是一个统计量.格里汶科（W.Glivenko）在1933年证明了以下的结果：对于任一实数x，当n→∞时，Fn（x）以概率1一致收敛于分布函数F（x），即

因此，对于任一实数x，当n充分大时，经验分布函数的任一个观察值Fn（x）与总体分布函数F（x）只有微小的差别，从而在实际上可作F（x）来使用.

例1　随机地观察总体X，得10个数据如下：

3.2，2.5，－4，2.5，0，3，2，2.5，4，2.

将它们由小到大排列为

－4，0，2，2，2.5，2.5，2.5，3，3.2，4.

其经验分布函数是

2.直方图

当总体X为连续型随机变量时，总体分布可以用总体密度函数f（x）来表示，而f（x）需要我们用样本来推断.下面介绍的频率直方图是求f（x）的最简单而有效的近似求法.

设x1，x2，…，xn为X的样本X1，X2，…，Xn的一组观察值.我们采用以下步骤作出直方图：

（1）将总体X的一组样本值x1，x2，…，xn按大小次序排列，得

≤≤…≤.(www.xing528.com)

（2）选取a（略小于）和b（略大于），则所有的样本值都落入区间（a，b]中.在（a，b]内插入k－1个分点，

a＝t0＜t1＜t2＜…＜tk－1＜tk＝b，

将（a，b]分成k个小区间：

(t0，t1]，(t1，t2]，…，(tk－1，tk].

Δti＝ti－ti－1是第i个小区间的长度，称为第i组组距.各组组距可以相等，也可以不等，但每个小区间都要包含若干个样本值.小区间的个数k一般可取8至15个，太少或太多均不易显示分布特征.另外分点的值ti应比数据的有效数字多一位.

（3）用唱票的办法，数出样本值落在区间（ti－1，ti]中的频数ni，并计算出频率

（4）在x轴上标出各分点，以（ti－1，ti]为底边，画出高度为fi/Δti的矩形，便得到直方图.其中第i个小矩形的面积ΔSi是样本落入区间（ti－1，ti]的频率，是概率的近似值，即

连接直方图矩形上边缘的曲线便是f（x）的近似图形.

如果在步骤（4）中用组中间值的频率分布代替样本观察值的频率分布，我们便可求出经验分布函数Fn（x）.

例2　某洗涤剂厂为了保证质量，对某天生产的洗涤剂进行抽查，测得100瓶洗涤剂重量的数据如下：

试画出直方图及近似f（x）曲线，并求出经验分布函数F100（x）.

解　因＝332，＝358，故可取（a，b]为（331.5，358.5]，把（a，b]分成长度为3的9个小区间（组），列出频数与频率表如下：

根据表上数据作出直方图，如图5.1所示.

图5.1

从直方图可以看出，X应服从正态分布N（μ，σ2），μ≈343.8，σ≈4.05.

再用组中间值的频率分布

可求出经验分布函数F100（x）.